Eşdeğer Doğrusal Denklem Sistemleri ile Çalışma
Eşdeğer denklemler, aynı çözümlere sahip denklem sistemleridir. Eşdeğer denklemleri tanımlamak ve çözmek sadece cebir dersinde değil, günlük hayatta da değerli bir beceridir. Eşdeğer denklem örneklerine, bunları bir veya daha fazla değişken için nasıl çözeceğinize ve bu beceriyi sınıf dışında nasıl kullanabileceğinize bir göz atın. Anahtar Çıkarımlar
- Eşdeğer denklemler, aynı çözümlere veya köklere sahip cebirsel denklemlerdir.
- Bir denklemin her iki tarafına aynı sayının veya ifadenin eklenmesi veya çıkarılması eşdeğer bir denklem üretir.
- Bir denklemin her iki tarafını aynı sıfır olmayan sayı ile çarpmak veya bölmek eşdeğer bir denklem üretir.
Tek Değişkenli Doğrusal Denklemler Eşdeğer denklemlerin en basit örneklerinde herhangi bir değişken yoktur. Örneğin, bu üç denklem birbirine denktir:
- 3 + 2 = 5
- 4 + 1 = 5
- 5 + 0 = 5
Bu denklemlerin eşdeğer olduğunu kabul etmek harikadır, ancak pek kullanışlı değildir. Genellikle bir denklem problemi, bir değişkenin başka bir denklemdeki değişkenle aynı (aynı kök ) olup olmadığını görmek için çözmenizi ister. Örneğin, aşağıdaki denklemler eşdeğerdir:
- x = 5
- -2x = -10
Her iki durumda da x = 5’tir. Bunu nereden biliyoruz? Bunu “-2x = -10” denklemi için nasıl çözersiniz? İlk adım eşdeğer denklemlerin kurallarını bilmektir:
- Bir denklemin her iki tarafına aynı sayının veya ifadenin eklenmesi veya çıkarılması eşdeğer bir denklem üretir.
- Bir denklemin her iki tarafının aynı sıfır olmayan sayı ile çarpılması veya bölünmesi eşdeğer bir denklem üretir.
- Denklemin her iki tarafını aynı tek kuvvete yükseltmek veya aynı tek kökü almak eşdeğer bir denklem üretecektir.
- Bir denklemin her iki tarafı da negatif değilse, denklemin her iki tarafını aynı çift kuvvete yükseltmek veya aynı çift kökü almak eşdeğer bir denklem verecektir.
Örnek Bu kuralları uygulamaya koyarak, şu iki denklemin eşdeğer olup olmadığını belirleyin:
- x + 2 = 7
- 2x + 1 = 11
Bunu çözmek için, her denklem için “x “i bulmanız gerekir. Eğer “x” her iki denklem için de aynı ise, o zaman denklemler eşdeğerdir. Eğer “x” farklıysa (yani denklemlerin farklı kökleri varsa), denklemler eşdeğer değildir. İlk denklem için:
- x + 2 = 7
- x + 2 – 2 = 7 – 2 (her iki tarafın aynı sayı ile çıkarılması)
- x = 5
İkinci denklem için:
- 2x + 1 = 11
- 2x + 1 – 1 = 11 – 1 (her iki tarafın aynı sayı ile çıkarılması)
- 2x = 10
- 2x/2 = 10/2 (denklemin her iki tarafının aynı sayıya bölünmesi)
- x = 5
Yani, evet, iki denklem eşdeğerdir çünkü her iki durumda da x = 5’tir. Pratik Eşdeğer Denklemler Eşdeğer denklemleri günlük hayatta kullanabilirsiniz. Özellikle alışveriş yaparken yardımcı olur. Örneğin, belirli bir gömleği beğendiniz. Bir şirket gömleği 6$’a satıyor ve 12$ kargo ücreti var, başka bir şirket ise 7.50$’a satıyor ve 9$ kargo ücreti var. Hangi gömlek en iyi fiyata sahip? Fiyatın her iki şirket için de aynı olması için kaç tane gömlek (belki arkadaşlarınız için almak istiyorsunuz) satın almanız gerekir? Bu problemi çözmek için “x” gömlek sayısı olsun. Başlangıç olarak, bir gömlek satın almak için x =1 olarak ayarlayın. 1 numaralı şirket için:
- Fiyat = 6x + 12 = (6)(1) + 12 = 6 + 12 = 18 $
2 numaralı şirket için:
- Fiyat = 7,5x + 9 = (1)(7,5) + 9 = 7,5 + 9 = 16,50 $
Yani, eğer bir gömlek alıyorsanız, ikinci şirket daha iyi bir teklif sunuyor. Fiyatların eşit olduğu noktayı bulmak için “x” gömlek sayısı olarak kalsın, ancak iki denklem birbirine eşit olsun. Kaç tane gömlek almanız gerektiğini bulmak için “x “i çözün:
- 6x + 12 = 7,5x + 9
- 6x – 7,5x = 9 – 12 (her iki taraftan aynı sayıların veya ifadelerin çıkarılması)
- -1.5x = -3
- 1,5x = 3 (her iki tarafın aynı sayıya bölünmesi, -1)
- x = 3/1,5 (her iki tarafın 1,5’e bölünmesi)
- x = 2
İki gömlek alırsanız, nereden alırsanız alın fiyat aynıdır. Aynı matematiği, hangi şirketin daha büyük siparişlerde size daha iyi bir anlaşma sunduğunu belirlemek ve bir şirketi kullanarak diğerine göre ne kadar tasarruf edeceğinizi hesaplamak için de kullanabilirsiniz. Bakın, cebir işe yarıyor! İki Değişkenli Eşdeğer Denklemler İki denkleminiz ve iki bilinmeyeniniz (x ve y) varsa, iki doğrusal denklem kümesinin eşdeğer olup olmadığını belirleyebilirsiniz. Örneğin, size şu denklemler verilirse:
- -3x + 12y = 15
- 7x – 10y = -2
Aşağıdaki sistemin eşdeğer olup olmadığını belirleyebilirsiniz:
- -x + 4y = 5
- 7x -10y = -2
Bu problemi çözmek için, her denklem sistemi için “x” ve “y” değerlerini bulun. Eğer değerler aynıysa, denklem sistemleri eşdeğerdir. İlk set ile başlayın. İki değişkenli iki denklemi çözmek için, bir değişkeni izole edin ve çözümünü diğer denkleme yerleştirin. “y” değişkenini izole etmek için:
- -3x + 12y = 15
- -3x = 15 – 12y
- x = -(15 – 12y)/3 = -5 + 4y (ikinci denklemde “x” yerine takın)
- 7x – 10y = -2
- 7(-5 + 4y) – 10y = -2
- -35 + 28y – 10y = -2
- 18y = 33
- y = 33/18 = 11/6
Şimdi, “x “i çözmek için “y “yi her iki denkleme de geri takın:
- 7x – 10y = -2
- 7x = -2 + 10(11/6)
Bu şekilde çalışarak sonunda x = 7/3 sonucuna ulaşacaksınız. Soruyu yanıtlamak için, “x” ve “y “yi çözmek için aynı ilkeleri ikinci denklem kümesine uygulayarak evet, bunların gerçekten eşdeğer olduğunu bulabilirsiniz. Cebire dalmak kolaydır, bu nedenle çalışmanızı çevrimiçi bir denklem çözücü kullanarak kontrol etmek iyi bir fikirdir. Bununla birlikte, zeki bir öğrenci iki denklem kümesinin eşdeğer olduğunu hiç zor hesaplamalar yapmadan fark edecektir. Her iki setteki ilk denklem arasındaki tek fark, birincisinin ikincisinin üç katı olmasıdır (eşdeğer). İkinci denklem tamamen aynıdır.
Eşdeğer denklem nedir?
Eşdeğer denklemler, aynı çözümlere veya köklere sahip cebirsel denklemlerdir. Bir denklemin her iki tarafına aynı sayının veya ifadenin eklenmesi veya çıkarılması eşdeğer bir denklem üretir. Bir denklemin her iki tarafının aynı sıfır olmayan sayı ile çarpılması veya bölünmesi eşdeğer bir denklem oluşturur.
Eşdeğer doğrusal sistemler nedir?
İki doğrusal sistem aynı çözüm kümesine sahipse eşdeğerdir. Bir doğrusal sistemi çözmek için temel strateji, verilen bir doğrusal sistemi, çözülmesi daha kolay olan başka bir eşdeğer sistemle öz yinelemeli olarak değiştirmektir.
Doğrusal bir denklemin denk olup olmadığını nasıl anlarsınız?
İki doğrusal denklem sistemi, ancak ve ancak aynı çözüm kümesine sahiplerse eşdeğerdir. Başka bir deyişle, iki sistem ancak ve ancak birinin her çözümü diğerinin de çözümü ise eşdeğerdir.
Eşdeğer ifade örneği nedir?
Eşdeğer İfade Örnekleri: 3(x + 2) ve 3x + 6 eşdeğer ifadelerdir çünkü her iki ifadenin değeri de x’in herhangi bir değeri için aynı kalır. 3x + 6 = 3 × 4 + 6 = 18. ve 6(x2 + 2y + 1) = 6×2 + 12y + 6 olarak da yazılabilir.
Eşdeğer doğrusal ifadeler nedir?
Eşdeğer doğrusal ifadeler aynı değere sahip olan ifadelerdir. Yani, birbirine eşdeğer iki doğrusal ifadeniz varsa ve her birinde değişken için aynı değeri girerseniz, her birinde aynı sonucu elde edersiniz.
İki denklemi nasıl eşitlersiniz?
2x – y = -2 ve x + y = 5 olmak üzere bir çift eş zamanlı denklemimiz olduğunu varsayalım. Bu denklemleri sol tarafların toplamını alıp sağ tarafların toplamına eşitleyerek aşağıdaki gibi çözebiliriz: 2x – y + (x + y)=3x = 3. Yani, x = 1.
Eşdeğer fonksiyonlar nelerdir?
İki fonksiyon aynı tanım alanına ve kod alanına sahipse ve değerleri tanım alanının tüm elemanları için aynı ise eşittir.
Lineer cebirde satır eşdeğeri ne anlama gelir?
Lineer cebirde, iki matris, biri diğerine bir dizi temel satır işlemi ile değiştirilebiliyorsa satır eşdeğeridir. Alternatif olarak, iki m × n matrisi ancak ve ancak aynı satır uzayına sahiplerse satır eşdeğeridir.
İki doğrusal sistem aynı çözüm kümesine sahipse eşdeğer midir?
İki doğrusal sistem aynı çözüm kümesine sahipse eşdeğer olarak adlandırılır. Yani, ilk sistemin her çözümü ikinci sistemin çözümüdür ve bunun tersi de geçerlidir.
Eşdeğer ifadenin anlamı nedir?
Genel olarak, iki şey aynı ise, o zaman eşdeğer olarak adlandırılır. Benzer şekilde matematikte de eşdeğer ifadeler, ifade farklı görünse de aynı olan ifadelerdir. Ancak değerler ifadeye yerleştirilirse, her iki ifade de aynı sonucu verir.
Örnekli tek değişkenli doğrusal denklem nedir?
Tek değişkenli doğrusal denklemler, a ve b’nin iki tam sayı ve x’in bir değişken olduğu ve sadece bir çözümü olan ax+b = 0 şeklinde ifade edilen bir denklemdir. Örneğin, 2x+3=8, içinde tek bir değişken bulunan doğrusal bir denklemdir.
Matematikteki denklemler nelerdir?
Bir denklem, eşittir işareti ile birbirine bağlanmış iki ifadeden oluşan matematiksel bir ifadedir. Örneğin, 3x – 5 = 16 bir denklemdir. Bu denklemi çözdüğümüzde x değişkeninin değerini x = 7 olarak elde ederiz.
Bir üst fonksiyonun denklemi nedir?
Doğrusal üst fonksiyonun y(x) = x olduğunu hatırlayın. Bu, fonksiyonun en temel, basit formudur.
İki denklemi nasıl eşitlersiniz?
2x – y = -2 ve x + y = 5 olmak üzere bir çift eş zamanlı denklemimiz olduğunu varsayalım. Bu denklemleri sol tarafların toplamını alıp sağ tarafların toplamına eşitleyerek aşağıdaki gibi çözebiliriz: 2x – y + (x + y)=3x = 3. Yani, x = 1.
Eşdeğer fonksiyonlar nelerdir?
İki fonksiyon aynı tanım alanına ve kod alanına sahipse ve değerleri tanım alanının tüm elemanları için aynı ise eşittir.
Matematikte eşdeğer ifadeler nedir?
İçlerindeki değişken(ler)in değerine bakılmaksızın aynı değere sahiplerse iki ifadenin eşdeğer olduğu söylenir.
Matematikte eşitleme nedir?
Matematikte, katsayıları eşitleme yöntemi, bir dizi bilinmeyen parametre için polinomlar gibi iki ifadenin fonksiyonel bir denklemini çözmenin bir yoludur. Her farklı terim türü için karşılık gelen katsayılar eşit olduğunda iki ifadenin tam olarak aynı olduğu gerçeğine dayanır.
Üslüleri kullanarak eşdeğer bir ifadeyi nasıl yazarsınız?
Kuvvetlerin çarpımı özelliği, aynı tabana sahip kuvvetleri çarptığımızda sadece üsleri toplamamız gerektiğini söyler. Yani, xaxb = x(a + b). Gördüğünüz gibi, tabanı aynı tutuyoruz ve üsleri topluyoruz.
Neden eşdeğer ifadeler kullanırız?
Eşdeğer ifadeler aynı değere sahip olan ifadelerdir. Eşdeğer ifadeler yazmak, onlarla çalışmayı ve çözmeyi kolaylaştırabilir.
Doğrusal denklem örnekleri nelerdir?
Tek değişkenli bir doğrusal denklemin standart biçimi Ax + B = 0 şeklindedir. Ax + By = C biçimindeki bir denkleme iki değişkenli doğrusal denklem denir. Doğrusal denklemlere birkaç örnek 5x + 6 = 1, 42x + 32y = 60, 7x = 84, vb.