Denklemlerin farklı biçimleri olduğu gibi, eşitsizliklerin de farklı biçimleri vardır ve kuadratik eşitsizlik onlardan biri.
İkinci dereceden bir eşitsizlik, eşittir işareti yerine bir eşitsizlik işareti kullanan ikinci dereceden bir denklemdir.
Bu ikinci dereceden eşitsizlik çözümleri her zaman iki kök verir. Köklerin doğası farklı olabilir ve diskriminant (b2 – 4ac).
İkinci dereceden eşitsizliklerin genel formları şunlardır:
balta2 + bx + c < 0
balta2 + bx + c ≤ 0
balta2 + bx + c > 0
balta2 + bx + c ≥ 0
İkinci dereceden eşitsizliklere örnek olarak şunlar verilebilir:
x2 – 6x – 16 ≤ 0, 2x2 – 11x + 12 > 0, x2 + 4 > 0, x2 – 3x + 2 ≤ 0 vb.
İkinci Dereceden Eşitsizlikler Nasıl Çözülür?
İkinci dereceden bir eşitsizlik, eşittir işareti yerine bir eşitsizlik işareti kullanan ikinci dereceden bir denklemdir.
Örnekler ikinci dereceden eşitsizlikler şunlardır: x2 – 6x – 16 ≤ 0, 2x2 – 11x + 12 > 0, x2 + 4 > 0, x2 – 3x + 2 ≤ 0 vb.
Cebirde ikinci dereceden bir eşitsizliği çözme ikinci dereceden bir denklemi çözmeye benzer. Bunun tek istisnası, ikinci dereceden denklemlerde ifadeleri sıfıra eşitlemenizdir, ancak eşitsizliklerde sıfırın her iki tarafında ne olduğunu, yani negatifleri ve pozitifleri bilmekle ilgilenirsiniz.
İkinci dereceden denklemler şu yöntemlerden biriyle çözülebilir çarpanlara ayırma yöntemi ya da kuadratik formül. İkinci dereceden eşitsizliklerin nasıl çözüleceğini öğrenmeden önce, birkaç örneği ele alarak ikinci dereceden denklemlerin nasıl çözüldüğünü hatırlayalım.
İkinci Dereceden Denklemler Çarpanlara Ayırma Yöntemi ile Nasıl Çözülür?
İkinci dereceden eşitsizlikleri de ikinci dereceden denklemler gibi çözebileceğimizi bildiğimizden, verilen denklemin veya eşitsizliğin nasıl çarpanlara ayrılacağını anlamakta fayda vardır.
Burada birkaç örnek görelim.
- 6x2– 7x + 2 = 0
Çözüm
⟹ 6x2 – 4x – 3x + 2 = 0
İfadeyi çarpanlarına ayırın;
⟹ 2x (3x – 2) – 1(3x – 2) = 0
⟹ (3x – 2) (2x – 1) = 0
⟹ 3x – 2 = 0 veya 2x – 1 = 0
⟹ 3x = 2 veya 2x = 1
⟹ x = 2/3 veya x = 1/2
Bu nedenle, x = 2/3, ½
- 3x’i çözün2– 6x + 4x – 8 = 0
Çözüm
Sol taraftaki ifadeyi çarpanlarına ayırın.
⟹ 3x2 – 6x + 4x – 8 = 0
⟹ 3x (x – 2) + 4(x – 2) = 0
⟹ (x – 2) (3x + 4) = 0
⟹ x – 2 = 0 veya 3x + 4 = 0
⟹ x = 2 veya x = -4/3
Bu nedenle, ikinci dereceden denklemin kökleri, x = 2, -4/3’tür.
- 2(x2+ 1) = 5x
Çözüm
2x2 + 2 = 5x
⟹ 2x2 – 5x + 2 = 0
⟹ 2x 2 – 4x – x + 2 = 0
⟹ 2x (x – 2) – 1(x – 2) = 0
⟹ (x – 2) (2x – 1) = 0
⟹ x – 2 = 0 veya 2x – 1 = 0
⟹ x = 2 veya x = 1/2
Bu nedenle, çözümler x = 2, 1/2’dir.
- (2x – 3)2= 25
Çözüm
İfadeyi genişletin ve çarpanlarına ayırın.
(2x – 3)2 = 25
⟹ 4x2 – 12x + 9 – 25 = 0
⟹ 4x2 – 12x – 16 = 0
⟹ x2 – 3x – 4 = 0
⟹ (x – 4) (x + 1) = 0
⟹ x = 4 veya x = -1
- x’i çözün2+ (4 – 3y) x – 12y = 0
Çözüm
Denklemi genişletin;
x2 + 4x – 3xy – 12y = 0
Çarpanlarına ayır;
⟹ x (x + 4) – 3y (x + 4) = 0
x + 4) (x – 3y) = 0
⟹ x + 4 = 0 veya x – 3y = 0
⟹ x = -4 veya x = 3y
Böylece, x = -4 veya x = 3y
İkinci dereceden bir eşitsizliği çözmek için de aşağıdaki prosedürde gösterildiği gibi aynı yöntemi uygularız:
- İkinci dereceden eşitsizliği standart formda yazın: ax2 + bx + c Burada a, b ve katsayılardır ve a ≠ 0
- Eşitsizliğin köklerini belirleyiniz.
- Çözümü eşitsizlik gösteriminde veya aralık gösteriminde yazınız.
- Eğer ikinci dereceden eşitsizlik: (x – a) (x – b) ≥ 0 biçimindeyse, a ≤ x ≤ b olur ve eğer :(x – a) (x – b) ≤ 0 biçimindeyse, a < b olduğunda a ≤ x veya x ≥ b olur.
Örnek 1
x eşitsizliğini çözün2 – 4x > -3
Çözüm
İlk olarak, her iki tarafı 3 ile toplayarak eşitsizliğin bir tarafını sıfır yapın.
x2 – 4x > -3 ⟹ x2 – 4x + 3 > 0
Eşitsizliğin sol tarafını çarpanlarına ayırın.
x2 – 4x + 3 > 0 ⟹ (x – 3) (x – 1) > 0
Eşitsizlik için tüm sıfırları çözün;
Çünkü, (x – 1) > 0 ⟹ x > 1 ve için, (x – 3) > 0 ⟹ x>3
y pozitif olduğu için, eğrinin x ekseninin üzerinde olacağı x değerlerini seçiyoruz.
x < 1 veya x > 3
Örnek 2
x eşitsizliğini çözün2 – x > 12.
Çözüm
Eşitsizliği standart formda yazmak için eşitsizliğin her iki tarafını 12 ile çıkarın.
x2 – x > 12 ⟹ x2 – x – 12 > 0.
İkinci dereceden eşitsizliği çarpanlarına ayırarak şu sonuca ulaşın;
(x – 4) (x + 3) > 0
Eşitsizlik için tüm sıfırları çözün;
Çünkü, (x + 3) > 0 ⟹ x > -3
x – 4 > 0 ⟹ x > 4 için
Dolayısıyla x < -3 veya x > 4 değerleri bu ikinci dereceden eşitsizliğin çözümüdür.
Örnek 3
2x çözün2 < 9x + 5
Çözüm
Eşitsizliğin bir tarafını sıfır yaparak eşitsizliği standart formda yazınız.
2x2 < 9x + 5 ⟹ 2x2 – 9x – 5 < 0
İkinci dereceden eşitsizliğin sol tarafını çarpanlarına ayırın.
2x2 – 9x – 5 < 0 ⟹ (2x + 1) (x – 5) < 0
Eşitsizlik için tüm sıfırları çözün
Çünkü, (x – 5) < 0 ⟹ x < 5 ve (2x + 1) < 0 ⟹ x < -1/2 için
2x denkleminde y negatif olduğu için2 – 9x – 5 < 0, bu nedenle eğrinin x ekseninin altında kalacağı x değerlerini seçiyoruz.
Bu nedenle çözüm -1/2 < x < 5 şeklindedir.
Örnek 4
Çöz – x 2 + 4 < 0.
Çözüm
Eşitsizlik zaten standart formda olduğu için ifadeyi çarpanlarına ayırıyoruz.
-x 2 + 4 < 0 ⟹ (x + 2) (x – 2) < 0
Eşitsizlik için tüm sıfırları çözün
Çünkü, (x + 2) < 0 ⟹ x < -2 ve için, (x – 2) < 0 ⟹ x < 2
y için -x 2 + 4 < 0 negatiftir; bu nedenle eğrinin x ekseninin altında kalacağı x değerlerini seçiyoruz: -2 < x > 2
Örnek 5
2x çözün2 + x – 15 ≤ 0.
Çözüm
İkinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırın.
2x2 + x – 15 = 0
2x2 + 6x – 5x- 15 = 0
2x (x + 3) – 5(x + 3) = 0
(2x – 5) (x + 3) = 0
2x – 5 = 0 ⟹ x= 5/2 ve x + 3= 0 ⟹ x = -3 için
2x için y olduğundan2 + x – 15 ≤ 0 negatif olduğundan, eğrinin x ekseninin altında kalacağı x değerlerini seçeriz. Dolayısıyla, x ≤ -3 veya x ≥5/2 çözümdür.
Örnek 6
Çöz – x2 + 3x – 2 ≥ 0
Çözüm
İkinci dereceden denklemi -1 ile çarpın ve işareti değiştirmeyi unutmayın.
x2 – 3x + 2 = 0
x2 – 1x – 2x + 2 = 0
x (x – 1) – 2(x – 1) = 0
(x – 2) (x – 1) = 0
Çünkü, x – 2 = 0 ⟹ x = 2 ve için, x – 1= 0 ⟹x=1
Bu nedenle, ikinci dereceden eşitsizliğin çözümü 1 ≤ x ≤ 2
Örnek 7
x’i çözün2 – 3x + 2 > 0
Çözüm
Elde etmek için ifadeyi çarpanlarına ayırın;
x2 – 3x + 2 > 0 ⟹ (x – 2) (x – 1) > 0
Şimdi eşitsizliğin köklerini şu şekilde çözün;
(x – 2) > 0 ⟹ x > 2
(x – 1) > 0 ⟹x > 1
x için eğri2 – 3x + 2 > 0 pozitif y’ye sahiptir, bu nedenle eğrinin x ekseninin üzerinde olacağı x değerlerini seçin. Dolayısıyla çözüm, x < 1 veya x > 2’dir.
Örnek 8
-2x’i çözün2 + 5x + 12 ≥ 0
Çözüm
Tüm ifadeyi -1 ile çarpın ve eşitsizlik işaretini değiştirin
-2x2 + 5x + 12 ≥ 0 ⟹2x2 – 5x – 12 ≤ 0
Elde etmek için ifadeyi çarpanlarına ayırın;
(2x + 3) (x – 4) ≤ 0.
Kökleri çözün;
(2x + 3) ≤ 0 ⟹ x ≤ -3/2.
(x – 4) ≤ 0 ⟹ x ≤ 4.
(x – a) (x – b) ≥ 0, o halde a ≤ x ≤ b kuralını uygulayarak, bu ikinci dereceden eşitsizliğin çözümlerini rahatlıkla şu şekilde yazabiliriz:
-3/2 ≤ x ≤ 4.
Örnek 9
x2 – x – 6 < 0
Çözüm
Çarpanlarına ayırma x2 – x – 6 elde etmek için;
(x + 2) (x – 3) < 0
Denklemin köklerini aşağıdaki gibi bulun;
(x + 2) (x – 3) = 0
x = -2 veya x = +3
Çünkü y, x için negatiftir2 – x – 6 < 0, o zaman eğrinin x ekseninin altında olacağı bir aralık seçeriz. Bu nedenle, -2 < x < 3 çözümdür.