Şimdiye kadar, ikinci dereceden denklemlerin özel durumlarını karelerin farkı ve tam kare trinom yöntemini kullanarak nasıl çarpanlara ayıracağınızı öğrendiniz.
Bu yöntemler nispeten basit ve etkilidir; ancak her zaman tüm ikinci dereceden denklemlere uygulanamazlar.
Bu makalede şunları öğreneceğiz tüm ikinci dereceden denklem türleri nasıl çözülür basit bir kareyi tamamlama olarak bilinen yöntem. Ancak bundan önce, ikinci dereceden denklemlere genel bir bakış yapalım.
İkinci dereceden bir denklem, genellikle f(x) = ax biçiminde olan ikinci dereceden bir polinomdur2 + bx + c burada a, b, c, ∈ R ve a ≠ 0. ‘a’ terimi öncü katsayı olarak adlandırılırken, ‘c’ f (x)’in mutlak terimidir.
Her ikinci dereceden denklemde, bilinmeyen değişkenin genellikle denklemin kökleri (α, β) olarak bilinen iki değeri vardır. İkinci dereceden bir denklemin kökünü, denklemi çarpanlarına ayırarak elde edebiliriz.
Kareyi Tamamlamak Nedir?
Kareyi tamamlama, çarpanlarına ayıramadığımız ikinci dereceden denklemleri çözmenin bir yöntemidir.
Kareyi tamamlamak, denklemin sol tarafının tam kare bir üç terimli olması için denklemin biçimini değiştirmek anlamına gelir.
Kare Nasıl Tamamlanır?
İkinci dereceden bir denklemi çözmek için; ax2 Kareyi tamamlayarak + bx + c = 0.
Prosedürler aşağıda belirtilmiştir:
- Denklemi, c tek başına sağ tarafta olacak şekilde değiştirin.
- Eğer baştaki a katsayısı 1’e eşit değilse, denklemin her bir terimini a’ya bölün, öyle ki x’in katsayısı2 1’dir.
- Denklemin her iki tarafını terim-x’in katsayısının yarısının karesiyle toplayın
⟹ (b/2a)2.
- Denklemin sol tarafını binomun karesi olarak çarpanlarına ayırın.
- Denklemin her iki tarafının karekökünü bulun. (x + q) kuralını uygulayın 2 = r, burada
x + q= ± √r
Kare formülünü tamamlayın
Matematikte kareyi tamamlama ikinci dereceden polinomları hesaplamak için kullanılır. Kareyi Tamamlama Formülü şu şekilde verilir: ax2 + bx + c ⇒ (x + p)2 + sabit.
İkinci dereceden formül, kareyi tamamlama yöntemi kullanılarak türetilmiştir. Bakalım.
İkinci dereceden bir denklem verildiğinde ax2 + bx + c = 0;
Denklemin sağ tarafındaki c terimini izole edin
balta2 + bx = -c
Her terimi a ile bölün.
x2 + bx/a = -c/a
Tam kare olarak yazın
x 2 + bx/a + (b/2a)2 = – c/a + (b/2a)2
(x + b/2a) 2= (-4ac+b2)/4a2
(x + b/2a) = ±√ (-4ac+b2)/2a
x = – b/2a ±√ (b2– 4ac)/2a
x = [- b ±√ (b2– 4ac)]/2a………. (Bu kuadratik formüldür)
Şimdi kareleri tamamlama yöntemini kullanarak birkaç ikinci dereceden denklemi çözelim.
Örnek 1
Aşağıdaki dört işlemli denklemi kare tamamlama yöntemiyle çözünüz:
x2 + 6x – 2 = 0
Çözüm
x denklemini dönüştürün2 + 6x – 2 = 0 ila (x + 3)2 – 11 = 0
(x + 3) olduğundan2 =11
x + 3 = +√11 veya x + 3 = -√11
x = -3+√11
VEYA
x = -3 -√11
Ancak √11 =3.317
Bu nedenle, x = -3 +3.317 veya x = -3 -3.317,
x = 0,317 veya x = -6,317
Örnek 2
x karesini tamamlayarak çözün2 + 4x – 5 = 0
Çözüm
Kareyi tamamlamanın standart formu şudur;
(x + b/2)2 = -(c – b2/4)
Bu durumda, b = 4, c = -5. Değerleri yerine koyun;
Yani, (x + 4/2)2 = -(-5 – 42/4)
(x + 2)2 = 5 + 4
⇒ (x + 2)2 = 9
⇒ (x + 2) = ±√9
⇒ (x + 2) = ± 3
⇒ x + 2 = 3, x + 2 = -3
⇒ x = 1, -5
Örnek 3
x’i çözün2 + 10x – 4 = 0
Çözüm
İkinci dereceden denklemi c’yi sağ taraftan ayırarak yeniden yazınız.
x2 + 10x = 4
Denklemin her iki tarafını (10/2) ile toplayın2 = 52 = 25.
= x2 + 10x + 25 = 4 + 25
= x2 + 10x + 25 = 29
Sol tarafı kare olarak yazın
(x + 5) 2 = 29
x = -5 ±√29
x = 0.3852, – 10.3852
Örnek 4
3x’i çözün2 – 5x + 2 = 0
Çözüm
Baştaki katsayının 1’e eşit olması için denklemin her bir terimini 3’e bölün.
x2 – 5/3 x + 2/3 = 0
Standart form ile karşılaştırıldığında; (x + b/2)2 = -(c-b2/4)
b = -5/3; c = 2/3
c – b2/4 = 2/3 – [(5/3)2/4] = 2/3 – 25/36 = -1/36
Bu yüzden,
⇒ (x – 5/6)2 = 1/36
⇒ (x – 5/6)= ± √(1/36)
⇒ x – 5/6 = ±1/6
⇒ x = 1, -2/3
Örnek 5
x’i çözün2 – 6x – 3 = 0
Çözüm
x2 – 6x = 3
x2 – 6x + (-3)2 = 3 + 9
(x – 3)2 = 12
x – 3= ± √12
x = 3 ± 2√3
Örnek 6
Çöz: 7x2 – 8x + 3=0
Çözüm
7x2 – 8x = -3
x2 -8x/7 = -3/7
x2 – 8x/7 +(-4/7)2 = -3/7+16/49
(x – 4/7)2 = -5/49
x = 4/7 ± (√7) i/5
(x – 3)2 = 12
x – 3 = ±√12
x = 3 ± 2√3
Örnek 7
2x çözün2 – 5x + 2 = 0
Çözüm
Her terimi 2’ye bölün
x2 – 5x/2 + 1 = 0
⇒ x2 – 5x/2= -1
Denklemin her iki tarafına (1/2 × -5/2) = 25/16 ekleyin.
= x2 – 5x/2 + 25/16 = -1 + 25/16
= (x – 5/4)2 = 9/16
= (x – 5/4)2 = (3/4)2
⇒ x – 5/4= ± 3/4
⇒ x = 5/4 ± 3/4
x = 1/2, 2
Örnek 8
x’i çözün2– 10x -11= 0
Çözüm
Üç terimi tam kare olarak yazın
(x2 – 10x + 25) – 25 – 11 = 36
⇒ (x – 5)2 – 36 =0
⇒ (x – 5)2 = 36
Denklemin her iki tarafındaki karekökleri bulun
x – 5 = ± √36
x -5 = ±6
x = -1 veya x =11
Örnek 9
Aşağıdaki denklemi kareyi tamamlayarak çözün
x2 + 10x – 2 = 0
Çözüm
x2 + 10x – 2 = 0
⇒ x2 + 10x = 2
⇒ x2 + 10x + 25 = 2 + 25
⇒ (x + 5)2 = 27
Denklemin her iki tarafındaki karekökleri bulun
⇒ x + 5 = ± √27
⇒ x + 5 = ± 3√3
x = -5 ± 3√3
Örnek 10
x’i çözün2 + 4x + 3 = 0
Çözüm
x2 + 4x + 3 = 0 ⇒ x2 + 4x = -3
x2 + 4x + 4 = – 3 + 4
Üç terimi tam kare olarak yazın
(x + 2)2 = 1
Her iki tarafın kareköklerini belirleyin.
(x + 2) = ± √1
x= -2+1= -1
VEYA
x = -2-1= -3
Örnek 11
Aşağıdaki denklemi kareyi tamamlama yöntemini kullanarak çözünüz.
2x2 – 5x + 1 = 0
Çözüm
x2-5x/2 + 1/2=0
x2 -5x/2 = -1/2
(1/2) (-5/2) =-5/4
(-5/4)2 = 25/16
x2 – 5x/2 + 25/16 = -1/2 + 25/16
(x – 5/4) 2 = 17/16
Her iki tarafın karesini bulun.
(x – 5/4) = ± √ (17/16)
x = [5 ± √ (17)]/4