Cebirde yeterlilik, matematiği anlamada ve matematiğe hakim olmada önemli bir araçtır. Cebir öğreniminde seviyelerini ilerletmek isteyenler için, faktoring temel bir beceridir Polinomları içeren karmaşık problemleri çözmek için gereklidir.
Çarpanlara ayırma, polinomları çözmek, fonksiyonların grafiklerini çizmek ve karmaşık ifadeleri sadeleştirmek için her cebir seviyesinde kullanılır.
Genel olarak çarpanlara ayırma, bir ifadeyi genişletmenin ters işlemidir.
Örneğin, 3(x – 2), 3x – 6’nın çarpanlara ayrılmış bir biçimidir ve (x – 1) (x + 6), x’in çarpanlara ayrılmış bir biçimidir.2 + 5x – 6. Genişletme nispeten basit bir işlem olsa da, çarpanlara ayırma biraz zordur ve bu nedenle bir öğrenci bunları uygulamada yeterlilik kazanmak için çeşitli çarpanlara ayırma türlerini uygulamalıdır.
Cebirde birçok öğrencinin kafa karıştırıcı bulduğu bir ders varsa o da üç terimli çarpanlara ayırma konusudur.
Bu makale, üç terimli sayıların çarpanlarına ayrılmasını içeren problemlerin nasıl çözüleceğini anlamanız için size adım adım rehberlik edecektir. Dolayısıyla, bu konunun en zor olduğu yanılsaması sizin geçmişe dair hikayeniz olacaktır.
Baş katsayısı 1 olanlar ve baş katsayısı 1’e eşit olmayanlar da dahil olmak üzere her türlü trinomun nasıl çarpanlara ayrılacağını öğreneceksiniz.
Başlamadan önce aşağıdaki terimleri hatırlamakta fayda var:
Çarpan, verilen başka bir sayıyı kalan bırakmadan bölen bir sayıdır. Her sayının kendisinden küçük veya kendisine eşit bir çarpanı vardır.
Örneğin, 12 sayısının çarpanları 1, 2, 3, 4, 6 ve 12’nin kendisidir. Tüm sayıların 1’in bir çarpanı olduğu ve her sayının kendisinin bir çarpanı olduğu sonucuna varabiliriz.
Elektronik ve grafik hesap makinelerinin icadından önce, Polinom denklemlerinin köklerini bulmak için en güvenilir yöntemin faktöring olduğu.
İkinci dereceden denklemler karmaşık denklemlere kıyasla daha doğrudan çözümler verse de, bu sadece
ikinci derece polinomlar.
Çarpanlara ayırma, bir polinomu daha basit çarpanlara ayırmamızı sağlarve bu faktörleri sıfıra eşitleyerek, herhangi bir polinom denkleminin çözümlerini belirleyebiliriz.
Şunlar var polinomları çarpanlarına ayırmak için çeşitli yöntemler. Bu makale, baş katsayısı 1 olan ve baş katsayısı 1’e eşit olmayan üç terimli terimler gibi farklı türdeki üç terimli terimlerin nasıl çarpanlara ayrılacağına odaklanacaktır.
Başlamadan önce, kendimizi aşağıdaki terimlere alıştırmalıyız.
Bu ortak çarpan, iki veya daha fazla farklı sayıya kalan bırakmadan bölünebilen bir sayı olarak tanımlanır.
Örneğin, 60, 90 ve 150 sayılarının ortak çarpanları; 1, 2, 3,5, 6,10, 15 ve 30’dur.
En Büyük Ortak Faktör (GCF)
Bu Sayıların En Büyük Ortak Çarpanı, verilen sayıların çarpanlarının en büyük değeridir. Örneğin, 60, 90 ve 150’nin ortak faktörleri; 1, 2, 3,5, 6,10, 15 ve 30’dur ve bu nedenle en büyük ortak faktör 30’dur.
Bir üçlü terimin GCF’si, üçlü terimin her bir terimini bölen en büyük tek terimdir. Örneğin, 6x ifadesinin GCF’sini bulmak için4 – 12x3 + 4x2aşağıdaki adımları uygularız:
- Trinomun her bir terimini asal çarpanlarına ayırın.
(2 * 3 * x * x * x) – (2 * 2 * 3 * x * x) + (2 * 2 * x * x)
- Yukarıdaki her bir terimde geçen faktörleri arayın.
Faktörleri şu şekilde çevreleyebilir veya renklendirebilirsiniz:
(2 * 3 * x * x * x) – (2 * 2 * 3 * x * x) + (2 * 2 * x * x)
Bu nedenle, 6x’in GCF’si4 – 12x3 + 4x2 2x’tir2
A polinom, değişkenler ve sayılar gibi ikiden fazla terim içeren cebirsel bir ifadedirgenellikle toplama veya çıkarma işlemleriyle birleştirilir.
Polinomlara örnek olarak 2x + 3, 3xy – 4y, x² – 4x + 7 ve 3x + 4xy – 5y verilebilir.
Bir trinom, üç terimden oluşan cebirsel bir denklemdir ve normalde ax biçimindedir2 + bx + c = 0, burada a, b ve c sayısal katsayılardır. “a” sayısı öncü katsayı olarak adlandırılır ve sıfıra eşit değildir (a≠0).
Örneğin, x² – 4x + 7 ve 3x + 4xy – 5y üç terimli ifadelere örnektir. Öte yandan, bir binom iki terimden oluşan cebirsel bir ifadedir. Binom ifadesine örnek olarak; x + 4, 5 – 2x, y + 2 vb. verilebilir.
Bir trinomu çarpanlarına ayırmak, bir denklemi iki veya daha fazla binomun çarpımına ayırmaktır. Bu, trinomu (x + m) (x + n) şeklinde yeniden yazacağımız anlamına gelir.
Sizin göreviniz m ve n’nin değerini belirlemektir. Başka bir deyişle, bir trinomu çarpanlarına ayırmanın folyo yönteminin ters işlemi olduğunu söyleyebiliriz.
Baş katsayısı 1 olan üç terimli sayılar nasıl çarpanlara ayrılır?
x’i çarpanlarına ayırmak için aşağıdaki adımları izleyelim2 + 7x + 12:
- Karşılaştırma x2 ax + 7x + 12’nin standart formu ile2 + bx + c, a = 1, b = 7 ve c = 12 elde ederiz.
- Toplamları b’ye eşit olacak şekilde c’nin çift faktörlerini bulunuz. 12’nin çift faktörleri (1, 12), (2, 6) ve (3, 4)’tür. Bu nedenle uygun çift 3 ve 4’tür.
- Ayrı parantezler içinde, (x + 3) ve (x + 4) elde etmek için çiftin her bir sayısını x’e ekleyin.
- Çarpanlarına ayrılmış sonucu elde etmek için iki binomu yan yana yazın;
(x + 3) (x + 4).
Üç terimli sayılar GCF ile nasıl çarpanlara ayrılır?
Baştaki katsayısı 1’e eşit olmayan bir trinomu çarpanlarına ayırmak için, en büyük ortak faktör (GCF) kavramını şu şekilde uygularız aşağıdaki adımlarda gösterilmiştir:
- Üç terim doğru sırada değilse, en büyükten en küçük güce doğru azalan sırada yeniden yazın.
- GCF’yi çarpanlarına ayırın ve bunu nihai cevabınıza eklemeyi unutmayın.
- “a” öncü katsayısı ile “c” sabitinin çarpımını bulunuz.
- Yukarıdaki 3. adımdan a ve c çarpımının tüm çarpanlarını listeleyin. x’in yanındaki sayıyı elde etmek için toplanacak kombinasyonu belirleyin.
- “bx” terimini 4. adımdan seçilen faktörlerle değiştirerek orijinal denklemi yeniden yazın.
- Denklemi gruplayarak çarpanlarına ayırın.
Bu dersi özetlemek gerekirse, ax biçimindeki bir trinomu çarpanlarına ayırabiliriz2 Bu beş formülden herhangi birini uygulayarak +bx + c:
- a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 = (a + b) (a + b)
- a2 – 2ab + b2 = (a – b)2 = (a – b) (a – b)
- a2 – b2 = (a + b) (a – b)
- a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2)
- a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2)
Şimdi birkaç trinom denklemi örneğini çarpanlarına ayıralım.
Örnek 1
Faktör 6x2 + x – 2
Çözüm
GCF =1, bu nedenle hiçbir yardımı olmaz.
Önde gelen a katsayısı ile c sabitini çarpın.
⟹ 6 * -2 = -12
12’nin tüm çarpanlarını listeleyin ve çarpımı -12 ve toplamı 1 olan bir çift belirleyin.
⟹ – 3 * 4
⟹ -3 + 4 = 1
Şimdi, “bx” terimini seçilen faktörlerle değiştirerek orijinal denklemi yeniden yazın
⟹ 6x2 – 3x + 4x – 2
İfadeyi gruplayarak çarpanlarına ayırın.
⟹ 3x (2x – 1) + 2(2x – 1)
⟹ (3x + 2) (2x – 1)
Örnek 2
Faktör 2x2 – 5x – 12.
Çözüm
2x2 – 5x – 12
= 2x2 + 3x – 8x – 12
= x (2x + 3) – 4(2x + 3)
= (2x + 3) (x – 4)
Örnek 3
Faktör 6x2 -4x -16
Çözüm
6, 4 ve 16’nın GCF’si 2’dir.
GCF’yi çarpanlarına ayırın.
6x2 – 4x – 16 ⟹ 2(3x2 – 2x – 8)
Önde gelen “a” katsayısını ve “c” sabitini çarpın.
⟹ 6 * -8 = – 24
Toplamı -2 olan 24’ün eşleştirilmiş çarpanlarını belirleyiniz. Bu durumda, 4 ve -6 çarpanlardır.
⟹ 4 + -6 = -2
“bx” terimini seçilen faktörlerle değiştirerek denklemi yeniden yazınız.
2(3x2 – 2x – 8) ⟹ 2(3x2 + 4x – 6x – 8)
Gruplayarak çarpanlara ayırın ve nihai cevabınıza GCF’yi eklemeyi unutmayın.
⟹ 2[x (3x + 4) – 2(3x + 4)]
⟹ 2[(x – 2) (3x + 4)]
Örnek 4
Faktör 3x3 – 3x2 – 90x.
Çözüm
GCF= 3x olduğu için çarpanlarına ayırın;
3x3 – 3x2 – 90x ⟹3x (x2 – x – 30)
Çarpımı -30 ve toplamı -1 olan bir çarpan çifti bulun.
⟹- 6 * 5 =-30
⟹ -6 + 5 = -1
“bx” terimini seçilen faktörlerle değiştirerek denklemi yeniden yazınız.
⟹ 3x [(x2 – 6x) + (5x – 30)]
Denklemi çarpanlarına ayırın;
⟹ 3x [(x (x – 6) + 5(x – 6)]
= 3x (x – 6) (x + 5)
Örnek 5
Faktör 6z2 + 11z + 4.
Çözüm
6z2 + 11z + 4 ⟹ 6z2 + 3z + 8z + 4
⟹ (6z2 + 3z) + (8z + 4)
⟹ 3z (2z + 1) + 4(2z + 1)
= (2z + 1) (3z + 4)