Bir polinom, bir toplama veya çıkarma işaretinin bir sabit ve bir değişkeni ayırdığı bir veya daha fazla terimli cebirsel bir ifadedir.
Bu bir polinomun genel formu axn + bxn-1 + cxn-2 + …. + kx + l, burada her değişkene katsayı olarak eşlik eden bir sabit vardır. Farklı polinom türleri arasında; binomlar, trinomlar ve kuadrinomlar bulunur.
Polinom örnekleri şunlardır; 3x + 1, x2 + 5xy – ax – 2ay, 6x2 + 3x + 2x + 1 vb.
Bir polinomu başka bir polinoma bölme prosedürü uzun ve zahmetli olabilir. Örneğin, polinom uzun bölme yöntemi ve sentetik bölme, kişinin kolayca hata yapabileceği ve dolayısıyla yanlış bir cevap alabileceği birkaç adım içerir.
Polinom uzun bölme yöntemi ve sentetik bölme işleminin bir örneğine kısaca göz atalım.
- Polinom uzun bölme yöntemini kullanarak 10x⁴ + 17x³ – 62x² + 30x – 3’ü (2x² + 7x – 1) ile bölün;
Çözüm
- 2 kez böl3 + 5x2 + 9 ile x + 3 arasında sentetik yöntem kullanılarak hesaplanır.
Çözüm
x + 3 bölenindeki sabitin işaretini 3’ten -3’e ters çevirin ve aşağı indirin.
_____________________
x + 3 | 2x3 + 5x2 + 0x + 9
-3| 2 5 0 9
Kâr payındaki ilk terimin katsayısını düşürün. Bu bizim ilk bölümümüz olacaktır.
-3 | 2 5 0 9
________________________
2
3 ile 2’yi çarpın ve -1’i elde etmek için çarpıma 5 ekleyin. -1’i aşağı indirin;
-3 | 2 5 0 9
-6
________________________
2 -1
3 ile -1’i çarpın ve 3’ü elde etmek için sonuca 0 ekleyin. 3’ü aşağı indirin.
-3 | 2 5 0 9
-6 3
________________________
2 -1 3
3 ile 3’ü çarpın ve 0’ı elde etmek için sonuca -9 ekleyin.
-3 | 2 5 0 9
-6 3 -9
________________________
2 -1 3 0
Bu nedenle, (2x3 + 5x2 + 9) ÷ (x + 3) = 2x2– x + 3
Polinomları uzun bölme veya sentetik bölme yöntemi kullanarak bölerken tüm bu zorluklardan kaçınmak için Kalan Teoremi uygulanır.
Kalan teoremi kullanışlıdır çünkü gerçek polinomları bölmeden kalanı bulmamıza yardımcı olur.
Örneğin, 20 sayısının 5 ile bölündüğünü düşünün; 20 ÷ 5 = 4. Bu durumda, kalan yoktur veya kalan sıfırdır, 5 ve4 sırasıyla bölen ve bölüm olduğunda 2o bölen olur. Bu şu şekilde ifade edilebilir:
Kâr Payı = (Bölen × Bölüm) + Kalan
yani 20 = (5 x 4) + 0
Bir x polinomunun kullanıldığı başka bir durum düşünün2 + x – 1 x + 1’e bölündüğünde bölüm olarak 4x-3 ve kalan olarak 2 elde edilir. Bu aynı zamanda şu şekilde de ifade edilebilir:
4x2 + x – 1= (x + 1) * (4x-3) + 2
Kalan Teoremi nedir?
Derece bakımından p(x) > g(x) ve g(x) ≠0 olan iki polinom p(x) ve g(x) verildiğinde, p(x) g(x)’e bölünerek bölüm olarak q(x) ve kalan olarak r(x) elde edilirse, bu ifadeyi şu şekilde gösterebiliriz:
Kâr Payı = (Bölen × Bölüm) + Kalan
p(x) = g(x) * q(x) + r(x)
p(x) = (x – a) * q(x) + r(x),
Ancak eğer r(x) = r
p(x) = (x – a) * q(x) + r
O halde;
p(a) = (a – a) * q(a) + r
p(a) = (0) *q(a) + r
p(a) = r
Buna göre Kalan Teoremibir polinom, f (x), doğrusal bir polinoma bölündüğünde, x – a bölme işleminin kalanı f (a)’ya eşittir.
Kalan Teoremi nasıl kullanılır?
Kalan Teoreminin nasıl kullanılacağını öğrenmek için aşağıda birkaç örnek görelim.
Örnek 1
Polinom x olduğunda kalanı bulun3 – 2x2 + x+1, x – 1 ile bölünür.
Çözüm
p(x) = x3 – 2x2 + x + 1
Elde etmek için böleni 0’a eşitleyin;
x – 1 = 0
x = 1
x değerini polinomun içine yerleştirin.
⟹ p (1) = (1)3 – 2(1)2 + 1 + 1
= 2
Bu nedenle kalan 2’dir.
Örnek 2
2x olduğunda kalan ne olur?2 – 5x -1, x – 3 ile bölünür
Çözüm
Bölen = x-3 verildiğinde
∴ x – 3 =0
x = 3
X değerini kar payında yerine koyun.
⟹ 2(3)2 – 5(3) -1
= 2 x 9 – 5 x 3 – 1
= 18 – 15 – 1
= 2
Örnek 3
2x olduğunda kalanı bulun2 – 5x – 1, x – 5 ile bölünür.
Çözüm
x – 5 = 0
∴ x = 5
x = 5 değerini kar payında yerine koyun.
⟹ 2(5)2 – 5(5) – 1 = 2 x 25 – 5 x 5 – 1
= 50 – 25 -1
= 24
Örnek 4
(x3 – balta2 + 6x – a) (x – a) ile bölünür mü?
Çözüm
Kar payı verildiğinde; p(x) = x3 – balta2 + 6x – a
Bölen = x – a
∴ x – a = a
x = a
Kâr payında x = a yerine koyun
⟹ p(a) = (a)3 – a(a)2 + 6a – a
= a3 – a3 + 6a – a
= 5a
Örnek 5
(x)’in kalanı ne kadardır?4 + x3 – 2x2 + x + 1) ÷ (x – 1).
Çözüm
Kâr payı = p(x) = x olarak verildiğinde4 + x3 – 2x2 + x + 1
Bölen = x – 1
∴ x – 1 = 0
x = 1.
Şimdi x = 1 yerine kar payını koyun.
⟹ p (1) = (1)4 + (1)3 – 2(1)2 + 1 + 1 = 1 + 1 – 2 + 1 + 1 = 2.
Dolayısıyla, kalan 2’dir.
Örnek 6
(3x)’in kalanını bulun2 – 7x + 11)/ (x – 2).
Çözüm
Kâr payı = p(x) = 3x olarak verildiğinde2 – 7x + 11;
Bölen = x – 2
∴x – 2 =0
x = 2
Kar payında x = 2 yerine koyun
p(x) = 3(2)2 – 7(2) + 11
= 12 – 14 + 11
= 9
Örnek 7
3x olup olmadığını öğrenin3 + 7x, 7 + 3x’in katıdır
Çözüm
p(x) = 3x alın3 + 7x bölen ve 7 + 3x bölen olarak kabul edilir.
Şimdi Kalan Teoremini uygulayın;
⟹ 7 + 3x = 0
x = -7/3
Kâr payında x = -7/3 yerine koyun.
⟹ p(x) = 3x3 + 7x = 3(-7/3)3 + 7(-7/3)
⟹-3(343/27) – 49/3
⟹ -(345 – 147)/9
= -490/9
Kalan – 490/9 ≠ 0 olduğundan, 3x3 + 7x, 7 + 3x’in katı DEĞİLDİR
Örnek 8
2x + 1’in 4x’in bir çarpanı olup olmadığını kontrol etmek için Kalan teoremini kullanın3 + 4x2 – x – 1
Çözüm
Kar payı 4x olsun3 + 4x2 – x – 1 ve bölen 2x + 1 olsun.
Şimdi, Teoremi uygulayın;
⟹ 2x + 1 = 0
∴ x = -1/2
Kâr payında x = -1/2 yerine koyun.
= 4x3 + 4x2 – x – 1 ⟹ 4( -1/2)3 + 4(-1/202 – (-1/2) – 1
= -1/2 + 1 + ½ – 1
= 0
Kalan=0 olduğuna göre, 2x + 1, 4x’in bir çarpanıdır3 + 4x2 – x – 1