Bir polinom, çıkarılan, eklenen veya çarpılan iki veya daha fazla terimden oluşan cebirsel bir ifadedir. Bir polinom katsayılar, değişkenler, üsler, sabitler ve toplama ve çıkarma gibi operatörler içerebilir. Monomial, binomial ve trinomial olmak üzere üç tür polinom vardır.
Tek terimli bir cebirsel ifade yalnızca bir terime sahipken, üç terimli bir ifade tam olarak üç terim içeren bir ifadedir.
Binom ifadesi nedir?
Cebirde, bir binom ifadesi toplama veya çıkarma işareti ile birleştirilen iki terim içerir. Örneğin, (x + y) ve (2 – x) binom ifadelerine örnektir.
Bazen binom ifadelerini aşağıda gösterildiği gibi genişletmemiz gerekebilir.
(a + b)0 = 1
(a + b)1 = a + b
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
(a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5
Bir binom ifadesini yukarıda gösterildiği gibi doğrudan çarpma yoluyla genişletmenin oldukça zahmetli ve daha büyük üsler için uygulanamaz olduğunu fark ettiniz.
Bu makalede, her şeyi uzun yoldan çarpmak zorunda kalmadan binom ifadesini genişletmek için Binom teoremini nasıl kullanacağımızı öğreneceğiz.
Binom Teoremi nedir?
Binom teoreminin izleri 4. yüzyıldan beri insanlar tarafından biliniyordu.inci M.Ö. yüzyıl. Küpler için binom 6. yüzyılda kullanılmıştır.inci MS. yüzyıl. Hintli bir matematikçi olan Halayudha, bu yöntemi Pascal’ın üçgenini kullanarak 10. yüzyılda açıklarinci MS. yüzyıl.
Bu teoremin açık ifadesi 12’de belirtilmiştirinci yüzyılda ortaya çıkmıştır. Sir Isaac Newton 1665 yılında binom teoremini tüm üsler için genelleştirene kadar matematikçiler bu bulguları bir sonraki aşamaya taşıdılar.
Binom Teoremi, bir binomun üslerinin cebirsel açılımını belirtir; bu da bir polinomu (a + b) şeklinde açmanın mümkün olduğu anlamına gelir n çoklu terimlere dönüştürün.
Matematiksel olarak bu teorem şu şekilde ifade edilir:
(a + b) n = an + (n 1) an – 1b1 + (n 2) an – 2b2 + (n 3) an – 3b3 + ………+ b n
nerede (n 1), (n 2), … binom katsayılarıdır.
Binom Teoreminin yukarıdaki özelliklerine dayanarak, Binom Formülünü şu şekilde türetebiliriz:
(a + b) n = an + nan – 1b1 + [n (n – 1)/2!] an – 2b2 + [n (n – 1) (n – 2)/ 3!]an – 3b3 + ………+ b n
Alternatif olarak, Binom formülünü şu şekilde ifade edebiliriz:
(a + b) n = nC0 an + nC1 an – 1b + nC2 an – 2b2 + nC3 an – 3b3+ ………. + n C n b n
Nerede (n r) = n Cr = n! / {r! (n – r)!} ve (C) ve (!) sırasıyla kombinasyon ve faktöriyeldir.
Örneğin:
- 3! = (3)(2)(1) =6
- 5! = (5)(4)(3)(2)(1) =120
- 4! /2! = (4)(3)(2)(1)/(2)(1) =12
- 10C6 = 10! / (10 – 6)! 6! = 10! / 4! 6! = (1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10) / 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 = 7 x 8 x 9 x 10 /1 x 2 x 3 x 4 = 7 x 3 x 10 = 210
Binom Teoremi nasıl kullanılır?
Binom Teoremini uygularken hatırlamanız gereken birkaç şey vardır.
Bunlar:
- İlk terimin (a) üsleri n’den sıfıra doğru azalır
- İkinci terimin (b) üsleri sıfırdan n’ye kadar artar
- a ve b üslerinin toplamı n’ye eşittir.
- İlk ve son terimin katsayılarının her ikisi de 1’dir.
Teoremi pratik olarak anlamak için Binom Teoremini belirli ifadeler üzerinde kullanalım.
Örnek 1
Genişlet (a + b)5
Çözüm
⟹ (a + b) 5 = an + (51) a5- 1b1 + (5 2) a5 – 2b2 + (53) a5- 3b3 + (54) a5- 4b4 + b5
= a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5
Örnek 2
Genişlet (x + 2)6 Binom Teoremini kullanarak.
Çözüm
Verilen a = x;
b = 2 ve n = 6
Değerleri binom formülünde yerine koyun
(a + b) n = an + nan – 1b1 + [n (n – 1)/2!] an – 2b2 + [n (n – 1) (n – 2)/ 3!]an – 3b3 + ………+ b n
⟹ (x + 2) 6 = x6 + 6x5(2)1 + [(6)(5)/2!] (x4) (22) + [(6)(5)(4)/3!] (x3) (23) + [(6)(5)(4)(3)/4!] (x2) (24) + [(6)(5)(4)(3)(2)/5!] (x) (25) + (2)6
= x6 + 12x5 + 60x4 +160x3 + 240x2 + 192x + 64
Örnek 3
(2)’yi genişletmek için binom teoremini kullanınx + 3)4
Çözüm
Binom formülü ile karşılaştırarak şunu elde ederiz,
a = 2x, b =3 ve n = 4.
Değerleri binom formülünde yerine koyun.
⟹ (2x + 3) 4 = x4 + 4(2x)3(3) + [(4)(3)/2!] (2x)2 (3)2 + [(4)(3)(2)/4!] (2x) (3)3 + (3)4
= 16 x4 + 96x3 +216x2 + 216x + 81
Örnek 4
(2x – y)’nin açılımını bulun4
Çözüm
(2x – y)4 = (2x) + (-y)4 = (2x)4 + 4(2x)3 (-y) + 6(2x)2(-y)2 + 4(2x) (-y)3+ (-y)4
= 16x4 – 32x3y + 24x2y2 – 8xy3 + y4
Örnek 5
(2 + 3x)’i genişletmek için Binom Teoremini kullanın3
Çözüm
Binom formülü ile karşılaştırarak,
a = 2; b = 3x ve n = 3
⟹ (2 + 3x) 3 = 23 + (31) 22(3x)1 + (32) 2(3x)2 + (3x)3
= 8 + 36x + 54x2 + 27x3
Örnek 6
Genişlet (x2 + 2)6
Çözüm
(x2 +2)6 = 6C0 (x2)6(2)0 + 6C1(x2)5(2)1 + 6C2(x2)4(2)2 + 6C3 (x2)3(2)3 + 6C4 (x2)2(2)4 + 6C5 (x2)1(2)5 + 6C6 (x2)0(2)6
= (1) (x12) (1) + (6) (x10) (2) + (15) (x8) (4) + (20) (x6) (8) + (15) (x4) (16) + (6) (x2) (32) + (1)(1) (64)
= x12 + 12 x10 + 60 x8 + 160 x6 + 240 x4 + 192 x2 + 64
Örnek 7
(√2 + 1) ifadesini genişletin5 + (√2 – 1)5 Binom formülünü kullanarak.
Çözüm
(x + y)5 + (x – y)5 = 2[5C0 x5 + 5C2 x3 y2 + 5C4 xy4]
= 2(x5 + 10 x3 y2 + 5xy4)
= (√2 + 1)5 + (√2 – 1)5 = 2[(√2)5 + 10(√2)3(1)2 + 5(√2) (1)4]
=58√2