Bildiğiniz gibi logaritma, üs alma işleminin tersi olan matematiksel bir işlemdir. Bir sayının logaritması şu şekilde kısaltılır “log.”
Logaritmik denklemleri çözmeye başlamadan önce, aşağıdaki logaritma kurallarına aşina olalım:
Çarpım kuralı, iki logaritmanın toplamının logaritmaların çarpımına eşit olduğunu belirtir. İlk yasa şu şekilde gösterilir;
⟹ log b (x) + log b (y) = log b (xy)
İki x ve y logaritmasının farkı, logaritmaların oranına eşittir.
⟹ log b (x) – log b (y) = log (x/y)
⟹ log b (x) n = n log b (x)
⟹ log b x = (log a x) / (log a b)
Herhangi bir pozitif sayının, o sayının aynı tabanına göre logaritması her zaman 1’dir.
b1=b ⟹ log b (b)=1.
Örnek:
- Sıfır olmayan herhangi bir tabana göre 1 sayısının logaritması her zaman sıfırdır.
b0=1 ⟹ log b 1 = 0.
Logaritmik Denklemler Nasıl Çözülür?
Üslerde değişkenler içeren bir denklem üstel denklem olarak bilinir. Buna karşılık, değişken içeren bir ifadenin logaritmasını içeren bir denklem logaritmik denklem olarak adlandırılır.
Logaritmik bir denklemi çözmenin amacı bilinmeyen değişkenin değerini bulmaktır.
Bu makalede, genel olarak iki tür logaritmik denklemin nasıl çözüleceğini öğreneceğiz:
- Denklemin bir tarafında logaritma içeren denklemler.
- Eşittir işaretinin karşıt taraflarında logaritma bulunan denklemler.
Bir tarafında logaritma olan denklemler nasıl çözülür?
Bir tarafında logaritma olan denklemler log alır b M = n ⇒ M = b n.
Bu tür denklemleri çözmek için aşağıdaki adımları takip ediniz:
- Uygun logaritma yasalarını uygulayarak logaritmik denklemleri basitleştirin.
- Logaritmik denklemi üstel formda yeniden yazınız.
- Şimdi üssü sadeleştirin ve değişken için çözün.
- Cevabınızı logaritmik denklemde yerine koyarak doğrulayın. Logaritmik bir denklemin kabul edilebilir cevabının yalnızca pozitif bir argüman ürettiğine dikkat etmelisiniz.
Örnek 1
Günlük çözme 2 (5x + 7) = 5
Çözüm
Denklemi üstel formda yeniden yazın
kütükler 2 (5x + 7) = 5 ⇒ 2 5 = 5x + 7
⇒ 32 = 5x + 7
⇒ 5x = 32 – 7
5x = 25
Elde etmek için her iki tarafı 5’e bölün
x = 5
Örnek 2
Log (5x -11) = 2’de x için çözün
Çözüm
Bu denklemin tabanı verilmediğinden, tabanın 10 olduğunu varsayıyoruz.
Şimdi logaritmayı üstel formda yazmayı değiştirin.
⇒ 102 = 5x – 11
⇒ 100 = 5x -11
111= 5x
111/5 = x
Dolayısıyla, cevap x = 111/5’tir.
Örnek 3
Günlük çözme 10 (2x + 1) = 3
Çözüm
Denklemi üstel formda yeniden yazın
log10 (2x + 1) = 3n⇒ 2x + 1 = 103
⇒ 2x + 1 = 1000
2x = 999
Her iki tarafı da 2’ye böldüğümüzde şunu elde ederiz;
x = 499.5
Cevabınızı orijinal logaritmik denklemde yerine koyarak doğrulayın;
⇒ log10 (2 x 499,5 + 1) = log10 (1000) = 3 çünkü 103 = 1000
Örnek 4
ln (4x -1) = 3 değerini hesaplayın
Çözüm
Denklemi üstel formda şu şekilde yeniden yazın;
ln (4x -1) = 3 ⇒ 4x – 3 =e3
Ama bildiğiniz gibi, e = 2.718281828
4x – 3 = (2.718281828)3 = 20.085537
x = 5.271384
Örnek 5
Logaritmik denklem log’u çözün 2 (x +1) – log 2 (x – 4) = 3
Çözüm
İlk olarak aşağıda gösterildiği gibi bölüm kuralını uygulayarak logaritmaları sadeleştirin.
log 2 (x +1) – log 2 (x – 4) = 3 ⇒ log 2 [(x + 1)/ (x – 4)] = 3
Şimdi, denklemi üstel formda yeniden yazın
⇒2 3 = [(x + 1)/ (x – 4)]
⇒ 8 = [(x + 1)/ (x – 4)]
Denklemin çapraz çarpımı
⇒ [(x + 1) = 8(x – 4)]
⇒ x + 1 = 8x -32
7x = 33 …… (Benzer terimlerin toplanması)
x = 33/7
Örnek 6
log ise x için çözün 4 (x) + log 4 (x -12) = 3
Çözüm
Logaritmayı çarpım kuralını kullanarak aşağıdaki gibi sadeleştirin;
log 4 (x) + log 4 (x -12) = 3 ⇒ log 4 [(x) (x – 12)] = 3
⇒ log 4 (x2 – 12x) = 3
Denklemi üstel forma dönüştürün.
⇒ 43 = x2 – 12x
⇒ 64 = x2 – 12x
Bu ikinci dereceden bir denklem olduğu için çarpanlarına ayırarak çözeceğiz.
x2 -12x – 64 ⇒ (x + 4) (x – 16) = 0
x = -4 veya 16
Orijinal denklemde x = -4 yerine konulduğunda, hayali olan negatif bir cevap elde ederiz. Bu nedenle, 16 kabul edilebilir tek çözümdür.
Denklemin her iki tarafında logaritma olan denklemler nasıl çözülür?
Eşittir işaretinin her iki tarafında logaritma bulunan denklemler log M = log N alır, bu da M = N ile aynıdır.
Eşittir işaretinin her iki tarafında logaritma bulunan denklemleri çözme prosedürü.
- Eğer logaritmalar ortak bir tabana sahipse, problemi basitleştirin ve logaritmalar olmadan yeniden yazın.
- Benzer terimleri toplayarak sadeleştirin ve denklemdeki değişken için çözün.
- Cevabınızı orijinal denkleme geri koyarak kontrol edin. Kabul edilebilir bir cevabın pozitif bir argüman üreteceğini unutmayın.
Örnek 7
Günlük çözme 6 (2x – 4) + log 6 (4) = log 6 (40)
Çözüm
İlk olarak, logaritmaları sadeleştirin.
log 6 (2x – 4) + log 6 (4) = log 6 (40) ⇒ log 6 [4(2x – 4)] = log 6 (40)
Şimdi logaritmaları bırakın
⇒ [4(2x – 4)] = (40)
⇒ 8x – 16 = 40
⇒ 8x = 40 + 16
8x= 56
x = 7
Örnek 8
Logaritmik denklemi çözün: log 7 (x – 2) + log 7 (x + 3) = log 7 14
Çözüm
Çarpım kuralını uygulayarak denklemi sadeleştirin.
Günlük 7 [(x – 2) (x + 3)] = log 7 14
Logaritmayı bırak.
⇒ [(x – 2) (x + 3)] = 14
Almak için FOIL’i dağıtın;
⇒ x 2 – x – 6 = 14
⇒ x 2 – x – 20 = 0
⇒ (x + 4) (x – 5) = 0
x = -4 veya x = 5
x = -5 ve x = 5 orijinal denklemde yerine konulduğunda, sırasıyla negatif ve pozitif bir argüman verirler. Bu nedenle, x = 5 kabul edilebilir tek çözümdür.
Örnek 9
Günlük çözme 3 x + log 3 (x + 3) = log 3 (2x + 6)
Çözüm
Denklem göz önüne alındığında; log 3 (x2 + 3x) = log 3 (2x + 6), elde etmek için logaritmaları bırakın;
⇒ x2 + 3x = 2x + 6
⇒ x2 + 3x – 2x – 6 = 0
x2 + x – 6 = 0……………… (İkinci dereceden denklem)
Elde etmek için ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırın;
(x – 2) (x + 3) = 0
x = 2 ve x = -3
Her iki x değerini de doğrulayarak x = 2’nin doğru cevap olduğunu görürüz.
Örnek 10
Günlük çözme 5 (30x – 10) – 2 = log 5 (x + 6)
Çözüm
log 5 (30x – 10) – 2 = log 5 (x + 6)
Bu denklem şu şekilde yeniden yazılabilir;
⇒ log 5 (30x – 10) – log 5 (x + 6) = 2
Logaritmaları sadeleştirin
log 5 [(30x – 10)/ (x + 6)] = 2
Logaritmayı üstel formda yeniden yazınız.
⇒ 52 = [(30x – 10)/ (x + 6)]
⇒ 25 = [(30x – 10)/ (x + 6)]
Çapraz çarpımla elde ederiz;
⇒ 30x – 10 = 25 (x + 6)
⇒ 30x – 10 = 25x + 150
⇒ 30x – 25x = 150 + 10
⇒ 5x = 160
x = 32