Bunu tanımladıktan sonra, logaritmik fonksiyon y = log b x, y = b üstel fonksiyonunun ters fonksiyonudur x. Şimdi üstel ve logaritmik fonksiyonlar arasındaki ilişkiye bakarak logaritmik fonksiyonların grafiğini çizmeye geçebiliriz.
Ancak logaritmik fonksiyonların grafiğini çizme konusuna geçmeden önce aşağıdaki terimlere aşina olmamız gerekmektedir:
Bir fonksiyonun etki alanı, kabul edilebilir bir cevap elde etmek için fonksiyonda yerine koyabileceğiniz değerler kümesidir.
Bu, değişken için etki alanındaki değerleri değiştirdikten sonra elde ettiğiniz değerler kümesidir.
Şunlar var üç tip asimptotyani; dikey, yatayve eğik. Dikey asimptot, fonksiyonun yakınında sınırsız büyüdüğü x değeridir.
Yatay asimptotlar, x sınırsız büyüdükçe f(x)’in yaklaştığı sabit değerlerdir. Eğik asimptotlar, x sınırsız büyüdükçe f(x)’in yaklaştığı birinci derece polinomlardır.
Logaritmik Fonksiyonların Grafiği Nasıl Çizilir?
Logaritmik bir fonksiyonun grafiği, üstel fonksiyon grafiği incelenerek ve ardından x ve y yer değiştirilerek yapılabilir.
Üstel bir fonksiyonun grafiği f (x) = b x veya y = b x aşağıdaki özellikleri içerir:
- Üstel bir fonksiyonun etki alanı gerçek sayılardır (-sonsuz, sonsuz).
- Aralık aynı zamanda pozitif reel sayılardır (0, sonsuz)
- Üstel bir fonksiyonun grafiği normalde (0, 1) noktasından geçer. Bu, y – kesişiminin (0, 1) noktasında olduğu anlamına gelir.
- Üstel bir fonksiyonun grafiği f(x) = b x y = 0’da yatay bir asimptota sahiptir.
- Üstel bir grafik, 0 < b < 1 ise soldan sağa doğru azalır ve bu durum üstel bozunma olarak bilinir.
- Eğer f(x) = b fonksiyonunun tabanı x 1’den büyükse, grafiği soldan sağa doğru artacaktır ve buna üstel büyüme denir.
Yukarıdaki özelliklere teker teker bakarak, logaritmik fonksiyonların özelliklerini de benzer şekilde aşağıdaki gibi çıkarabiliriz:
- Logaritmik bir fonksiyonun tanım kümesi (0, sonsuz) olacaktır.
- Logaritmik bir fonksiyonun aralığı (-sonsuz, sonsuz) şeklindedir.
- Logaritmik fonksiyon grafiği, üstel bir fonksiyon için (0, 1)’in tersi olan (1, 0) noktasından geçer.
- Logaritmik bir fonksiyonun grafiği x = 0’da dikey bir asimptota sahiptir.
- Logaritmik bir fonksiyonun grafiği 0 < b < 1 ise soldan sağa doğru azalacaktır.
- Ve eğer fonksiyonun tabanı 1’den büyükse, b > 1, o zaman grafik soldan sağa doğru artacaktır.
Temel bir logaritmik fonksiyonun grafiği nasıl çizilir?
Temel bir logaritmik fonksiyon genellikle yatay veya dikey kayma içermeyen bir fonksiyondur.
İşte temel bir logaritmik fonksiyonun grafiğini oluşturmak için gerekli adımlar.
- Tüm logaritmik fonksiyonlar (1, 0) noktasından geçtiğinden, bu noktayı bulup bir nokta yerleştiriyoruz.
- Eğrinin y eksenine değmesini önlemek için x = 0’da bir asimptot çiziyoruz.
- Fonksiyonun tabanı 1’den büyükse, eğrinizi soldan sağa doğru artırın. Benzer şekilde, taban 1’den küçükse, eğriyi soldan sağa doğru azaltın.
Şimdi aşağıdaki örneklere bakalım:
Örnek 1
Logaritmik f(x) = log fonksiyonunun grafiğini çizin 2 x ve fonksiyonun aralık ve etki alanını belirtiniz.
Çözüm
- Açıktır ki, logaritmik bir fonksiyon (0, sonsuz) ve (-sonsuz, sonsuz) alan ve aralığına sahip olmalıdır
- f(x) = log fonksiyonu olduğundan 2 x 1’den büyükse, eğrimizi aşağıda gösterildiği gibi soldan sağa doğru artıracağız.
- x = 0’daki dikey asimptotu göremiyoruz çünkü y ekseni tarafından gizlenmiş durumda.
Örnek 2
y = log grafiğini çizin 0.5 x
Çözüm
- (1, 0) noktasına bir nokta yerleştirin. Tüm logaritmik eğriler bu noktadan geçer.
- x = 0’da bir asimptot çizin.
- Fonksiyonun tabanı y = log olduğu için 5 x 1’den küçükse, eğrimizi soldan sağa doğru azaltacağız.
- y = log fonksiyonu 5 x ayrıca etki alanı ve aralık olarak (0, sonsuz) ve (-sonsuz, sonsuz) değerlerine sahip olacaktır.
Logaritmik bir fonksiyonun yatay kaydırma ile grafiğinin çizilmesi
Yatay kaydırmalı logaritmik fonksiyonlar f(x) = log biçimindedir b (x + h) veya f (x) = log b (x – h), burada h = yatay kaydırma. Yatay kaydırmanın işareti kaydırmanın yönünü belirler. İşaret pozitifse, kaydırma negatif olur ve işaret negatifse, kaydırma pozitif olur.
Yatay kaydırma uygulandığında, logaritmik bir fonksiyonun özellikleri aşağıdaki şekillerde etkilenir:
- x – kesişme noktası sola veya sağa h’ye eşit sabit bir mesafe kadar hareket eder.
- Dikey asimptot eşit bir h mesafesi kadar hareket eder.
- Fonksiyonun etki alanı da değişir.
Örnek 3
f(x) = log fonksiyonunun grafiğini çizin 2 (x + 1) ve fonksiyonun tanım ve aralığını belirtiniz.
Çözüm
⟹ Etki alanı: (- 1, sonsuz)
⟹ Aralık: (-sonsuz, sonsuz)
Örnek 4
Grafik y = log 0.5 (x – 1) ve etki alanı ve aralığı belirtiniz.
Çözüm
⟹ Etki alanı: (1, sonsuz)
⟹ Aralık: (-sonsuz, sonsuz)
Dikey bir fonksiyonun grafiği nasıl çizilir?
Hem yatay hem de dikey kaydırmalı bir logaritmik fonksiyon f(x) = log biçimindedir b (x) + k, burada k = dikey kaydırma.
Dikey kaydırma bir fonksiyonun özelliklerini aşağıdaki gibi etkiler:
- x-kesişimi, sabit bir k mesafesi ile ya yukarı ya da aşağı hareket edecektir.
Örnek 5
y = log fonksiyonunun grafiğini çizin 3 (x – 4) ve fonksiyonun aralığını ve alanını belirtiniz.
Çözüm
⟹ Etki alanı: (0, sonsuz)
⟹ Aralık: (-sonsuz, sonsuz)
Hem yatay hem de dikey kaydırmalı fonksiyonlar
Hem yatay hem de dikey kaydırmalı bir logaritmik fonksiyon (x) = log biçimindedir b (x + h) + k, burada k ve h sırasıyla dikey ve yatay kaydırmalardır.
Örnek 6
Logaritmik fonksiyonun grafiği y = log 3 (x – 2) + 1 ve fonksiyonun tanım ve aralığını bulun.
Çözüm
⟹ Etki Alanı: (2,sonsuz)
⟹ Aralık: (-sonsuz, sonsuz)
Örnek 7
Logaritmik fonksiyonun grafiği y = log 3 (x + 2) + 1 ve fonksiyonun tanım ve aralığını bulunuz.
Çözüm
⟹ Etki alanı: (- 2,sonsuz)
⟹ Aralık: (-sonsuz, sonsuz)
