Bu makale Bir fonksiyon ortalamasının etki alanı ve aralığını ve bu iki niceliğin nasıl hesaplanacağını açıklayacaktır. Alan ve aralık konusuna girmeden önce, bir fonksiyonun ne olduğunu kısaca açıklayalım.
Matematikte bir fonksiyonu, belirli bir girdiyle ilişkili olarak bazı çıktılar üreten bir makineye benzetebiliriz. Bir madeni para damgalama makinesini örnek alarak, bir fonksiyonun anlamını aşağıdaki gibi gösterebiliriz.
Madeni para damgalama makinesine bir madeni para yerleştirdiğinizde, sonuç damgalanmış ve düzleştirilmiş bir metal parçasıdır. Bir fonksiyonu göz önünde bulundurarak, madeni para ve düzleştirilmiş metal parçasını etki alanı ve aralık ile ilişkilendirebiliriz. Bu durumda, bir fonksiyon bozuk para damgalama makinesi olarak kabul edilir.
Tıpkı bir seferde sadece tek bir düzleştirilmiş metal parçası üretebilen madeni para damgalama makinesi gibi, bir fonksiyon da her seferinde tek bir sonuç vererek aynı şekilde çalışır.
Bir fonksiyonun geçmişi
Fonksiyon fikri on yedinci yüzyılın başlarında Rene Descartes (1596-1650) Geometri (1637) adlı kitabında bu kavramı matematiksel problemleri modellemek için kullanmıştır.
Elli yıl sonra, Geometri’nin yayınlanmasından sonra, Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) “fonksiyon” terimini ortaya attı. Daha sonra Leonhard Euler (1707-1783), y = f (x) fonksiyon kavramı tekniğini tanıtarak büyük bir rol oynamıştır.
Bir fonksiyonun gerçek hayattaki uygulaması
Fonksiyonlar matematikte çok kullanışlıdır çünkü gerçek hayattaki problemleri matematiksel bir formatta modellememize olanak tanırlar.
İşte bir fonksiyonun uygulanmasına ilişkin birkaç örnek.
Bir dairenin çevresi
Bir dairenin çevresi, çapının veya yarıçapının bir fonksiyonudur. Bu ifadeyi matematiksel olarak şöyle gösterebiliriz:
C(d) =dπ veya C(r)=2π⋅r
Bir nesnenin gölgesinin uzunluğu, yüksekliğinin bir fonksiyonudur.
Hareket eden bir nesnenin konumu
Araba gibi hareketli bir nesnenin konumu zamanın bir fonksiyonudur.
Bir vücudun sıcaklığı çeşitli faktörlere ve girdilere dayanır.
Bileşik veya basit faiz, zaman, anapara ve faiz oranının bir fonksiyonudur.
Bir nesnenin boyu, yaşının ve vücut ağırlığının bir fonksiyonudur.
Bir fonksiyonu öğrendikten sonra, şimdi bir fonksiyonun etki alanı ve aralığının nasıl hesaplanacağına geçebiliriz.
Bir Fonksiyonun Tanım Alanı ve Aralığı Nedir?
Bu bir fonksiyonun etki alanı bir fonksiyona yerleştirildiğinde sonucun tanımlandığı girdi sayılarıdır. Basit bir ifadeyle, bir fonksiyonun etki alanını, bir denklemi doğru kılacak olası x değerleri olarak tanımlayabiliriz.
Geçerli bir fonksiyon oluşturmayacak durumlardan bazıları, bir denklemin sıfıra bölünmesi veya negatif bir karekök olmasıdır.
Örneğin, f(x) = x2 geçerli bir fonksiyondur, çünkü denklemde x’in hangi değeri yerine konulursa konulsun, her zaman geçerli bir cevap vardır. Bu nedenle, herhangi bir fonksiyonun etki alanının tüm reel sayılar olduğu sonucuna varabiliriz.
Bu bir fonksiyonun aralığı belirli bir girdi için denklemin çözüm kümesi olarak tanımlanır. Başka bir deyişle, aralık bir fonksiyonun çıktısı veya y değeridir. Belirli bir fonksiyon için yalnızca bir aralık vardır.
Etki Alanı ve Aralığı belirtmek için aralık gösterimleri nasıl kullanılır?
Bir fonksiyonun aralığı ve etki alanı genellikle aralık gösterimiyle ifade edildiğinden, aralık gösterimi kavramını tartışmak önemlidir.
Aralıklı gösterim yapmak için prosedür şunları içerir:
- Sayıları virgülle ayırarak artan sırada yazın.
- Bir uç nokta değerinin dahil edilmediğini göstermek için sayıları parantez () kullanarak içine alın.
- Parantez kullanın [] uç nokta değeri dahil edildiğinde sayıları çevrelemek için.
Bir Fonksiyonun Tanım Alanı ve Aralığı Nasıl Bulunur?
Bir fonksiyonun etki alanını ya cebirsel olarak ya da grafiksel yöntemle belirleyebiliriz. Bir fonksiyonun etki alanını cebirsel olarak hesaplamak için, x değerlerini belirlemek üzere denklemi çözersiniz.
Farklı fonksiyon türlerinin etki alanlarını belirlemek için kendi yöntemleri vardır.
Şimdi bu tür fonksiyonları ve etki alanlarının nasıl hesaplanacağını inceleyelim.
Paydası veya radikali olmayan bir fonksiyon için tanım kümesi nasıl bulunur?
Bu senaryoyu anlamak için aşağıda birkaç örnek görelim.
Örnek 1
f (x) = 5x – 3’ün etki alanını bulunuz.
Çözüm
Dolayısıyla, doğrusal bir fonksiyonun etki alanı tüm gerçek sayılardır,
Etki Alanı: (-∞, ∞)
Aralık: (-∞, ∞)
Radikal içeren bir fonksiyon
Örnek 2
f(x)=-2x fonksiyonunun etki alanını bulunuz.2 + 12x + 5
Çözüm
f(x) = -2x fonksiyonu2 + 12x + 5 ikinci dereceden bir polinomdur, bu nedenle etki alanı (-∞, ∞)’dur.
Paydasında değişken olan bir rasyonel fonksiyon için tanım kümesi nasıl bulunur?
Bu tür bir fonksiyonun etki alanını bulmak için paydayı sıfıra ayarlayın ve değişkenin değerini hesaplayın.
Bu senaryoyu anlamak için aşağıda birkaç örnek görelim.
Örnek 3
x-4/ (x)’in etki alanını belirleyin.2 -2x-15)
Çözüm
Paydayı sıfıra ayarlayın ve x için çözün
⟹ x2 – 2x – 15 = (x – 5) (x + 3) = 0
Dolayısıyla, x = -3, x = 5
Paydanın sıfır olmaması için -3 ve 5 sayılarından kaçınmamız gerekir. Bu nedenle, etki alanı -3 ve 5 dışındaki tüm reel sayılardır.
Örnek 4
f(x) = -2/x fonksiyonunun alanını ve aralığını hesaplayınız.
Çözüm
Paydayı sıfır olarak ayarlayın.
⟹ x = 0
Bu nedenle, etki alanı: 0 hariç tüm gerçek sayılar.
Aralık, 0 hariç x’in tüm gerçek değerleridir.
Örnek 5
Aşağıdaki fonksiyonun tanım alanını ve aralığını bulunuz.
f(x) = 2/ (x + 1)
Çözüm
Paydayı sıfıra eşitleyin ve x için çözün.
x + 1 = 0
= -1
Fonksiyon x = -1 olduğunda tanımsız olduğundan, etki alanı -1 hariç tüm reel sayılardır. Benzer şekilde, aralık 0 hariç tüm reel sayılardır
Radikal işareti içinde değişken olan bir fonksiyonun etki alanı nasıl belirlenir?
Fonksiyonun etki alanını bulmak için, radikalin içindeki terimler > 0 veya ≥ 0 eşitsizliğine ayarlanır. Daha sonra değişkenin değeri belirlenir.
Bu senaryoyu anlamak için aşağıda birkaç örnek görelim.
Örnek 6
f(x) = √ (6 + x – x) tanım kümesini bulunuz.2)
Çözüm
Negatif sayıların kareköklerinden kaçınmak için, radikal işaretinin içindeki ifadeyi ≥ 0 olarak ayarlarız.
6 + x – x2 ≥ 0 ⟹ x 2 – x – 6≤ 0
⟹ x 2 – x – 6= (x – 3) (x +2) = 0
Bu nedenle, x = 3 veya x = -2 ise fonksiyon sıfırdır
Dolayısıyla alan adı: [−2, 3]
Örnek 7
f(x) =x/√ (x) tanım kümesini bulunuz.2 – 9)
Çözüm
Radikal işareti içindeki ifadeyi x olarak ayarlayın2 – 9 > 0
Elde etmek için değişkeni çözün;
x = 3 veya – 3
Bu nedenle, Etki Alanı: (-∞, -3) & (3, ∞)
Örnek 8
f(x) = 1/√ (x) tanım kümesini bulunuz.2 -4)
Çözüm
Paydayı çarpanlarına ayırarak x ≠ (2, – 2) elde ederiz.
Radikal işareti içindeki ifadeye -3 değerini yerleştirerek cevabınızı test edin.
⟹ (-3)2 – 4 = 5
sıfır ile de deneyin
⟹ 02 – 4 = -4, bu nedenle 2 ile -2 arasındaki sayılar geçersizdir
2’nin üstündeki numarayı deneyin
⟹ 32 – 4 = 5. Bu geçerli.
Dolayısıyla, etki alanı = (-∞, -2) U (2, ∞)
Doğal logaritma (ln) kullanarak bir fonksiyonun etki alanı nasıl bulunur?
Doğal log kullanarak bir fonksiyonun etki alanını bulmak için, parantez içindeki terimleri >0 olarak ayarlayın ve ardından çözün.
Bu senaryoyu anlamak için aşağıda bir örnek görelim.
Örnek 9
f(x) = ln (x – 8) fonksiyonunun etki alanını bulunuz.
Çözüm
⟹ x – 8 > 0
⟹ x – 8 + 8 > 0 + 8
⟹ x > 8
Etki Alanı:(8, ∞)
Bir ilişkinin etki alanı ve aralığı nasıl bulunur?
Bir ilişki, x ve y koordinatlarının bir varlığıdır. Bir ilişkide etki alanı ve aralığı bulmak için sırasıyla x ve y değerlerini listelemeniz yeterlidir.
Bu senaryoyu anlamak için aşağıda birkaç örnek görelim.
Örnek 10
{(2, -3), (4, 6), (3, -1), (6, 6), (2, 3)} bağıntısının etki alanını ve aralığını belirtiniz.
Çözüm
X değerlerini listeleyin. Etki alanı: {2, 3, 4, 6}
Y değerlerini listeleyin. aralık: {-3, -1, 3, 6}
Örnek 11
{(-3, 5), (-2, 5), (-1, 5), (0, 5), (1, 5), (2, 5)} bağıntısının etki alanını ve aralığını bulunuz.
Çözüm
Etki alanı {-3, -2, -1, 0, 1, 2} ve aralık {5}’tir.
Örnek 12
R = {(4, 2) (4, -2), (9, 3) (9, -3)} olduğuna göre, R’nin tanım alanını ve aralığını bulunuz.
Çözüm
Etki alanı ilk değerlerin bir listesidir, bu nedenle D= {4, 9} ve aralık = {2, -2, 3, -3}