Matematikte bir fonksiyon, belirli bir girdi kümesini bir dizi olası çıktı ile ilişkilendiren bir kuraldır. Bir fonksiyon hakkında dikkat edilmesi gereken önemli nokta, her bir girdinin tam olarak bir çıktı ile ilişkili olmasıdır.
Fonksiyonları adlandırma işlemi fonksiyon gösterimi olarak bilinir. En yaygın kullanılan fonksiyon gösterim sembolleri şunlardır: “f(x) = …”, “g(x) = …”, “h(x) = …,” vb.
Bu makalede şunları öğreneceğiz Bileşik fonksiyonların ne olduğu ve nasıl çözüleceği.
Bileşik Fonksiyon Nedir?
Eğer bize iki fonksiyon verilirse, bir fonksiyonu diğeriyle birleştirerek başka bir fonksiyon oluşturabiliriz. Bu işlemi gerçekleştirmek için gereken adımlar, herhangi bir fonksiyonun verilen herhangi bir değer için çözülmesine benzer. Bu tür fonksiyonlara bileşik fonksiyonlar denir.
Bileşik fonksiyon genellikle başka bir fonksiyonun içine yazılan bir fonksiyondur. Bir fonksiyonun bileşimi, bir fonksiyonun başka bir fonksiyonun içine yerleştirilmesiyle yapılır.
Örneğin, f [g (x)] f(x) ve g(x)’in bileşik fonksiyonudur. Bileşik fonksiyon f [g (x)] “f of g of x“. g (x) fonksiyonu iç fonksiyon, f (x) fonksiyonu ise dış fonksiyon olarak adlandırılır. Dolayısıyla, f’yi şöyle de okuyabiliriz [g (x)] “işlev” olarak g dış fonksiyonun iç fonksiyonudur f“.
Bileşik Fonksiyonlar Nasıl Çözülür?
Bileşik bir fonksiyonu çözmek, iki fonksiyonun bileşimini bulmak anlamına gelir. Bir fonksiyonun bileşimi için küçük bir daire (∘) kullanırız. İşte bileşik bir fonksiyonun nasıl çözüleceğine dair adımlar:
- Kompozisyonu farklı bir biçimde yeniden yazın.
Örneğin
(f ∘ g) (x) = f [g (x)]
(f ∘ g) (x) = f [g (x)]
(f ∘ g) (x²) = f [g (x²)]
- Dış fonksiyondaki x değişkenini iç fonksiyon ile değiştirin.
- Fonksiyonu basitleştirin.
Not: Bir fonksiyonun bileşimindeki sıra önemlidir çünkü (f ∘ g) (x), (g ∘ f) (x) ile aynı DEĞİLDİR.
Aşağıdaki sorunlara bir göz atalım:
Örnek 1
f (x) = x fonksiyonları göz önüne alındığında2 + 6 ve g (x) = 2x – 1 olduğuna göre (f ∘ g) (x) değerini bulunuz.
Çözüm
f(x) = x fonksiyonunda x yerine 2x – 1 yazın.2 + 6.
(f ∘ g) (x) = (2x – 1)2 + 6 = (2x – 1) (2x – 1) + 6
FOIL uygulayın
= 4x2 – 4x + 1 + 6
= 4x2 – 4x + 7
Örnek 2
g (x) = 2x – 1 ve f (x) = x fonksiyonları göz önüne alındığında2 + 6 olduğuna göre (g ∘ f) (x) değerini bulun.
Çözüm
x’i x ile değiştirin2 g (x) = 2x – 1 fonksiyonunda + 6
(g ∘ f) (x) = 2(x2 + 6) – 1
Parantezleri kaldırmak için dağılım özelliğini kullanın.
= 2x2 + 12 – 1
= 2x2 + 11
Örnek 3
f (x) = 2x + 3 verildiğinde, (f ∘ f) (x) değerini bulun.
Çözüm
(f ∘ f) (x) = f[f(x)]
= 2(2x + 3) + 3
= 4x + 9
Örnek 4
f (x) = 2x + 3 ve g (x) = -x olduğuna göre (g ∘ f) (x) değerini bulunuz.2 + 5
⟹ (g ∘ f) (x) = g [f (x)]
g(x) = -x içinde x ile değiştirin2 2x + 3 ile + 5
= – (2x + 3)2 + 5
= – (4x2 + 12x + 9) + 5
= -4x2 – 12x – 9 + 5
= -4x2 – 12x – 4
Örnek 5
F’yi değerlendirin [g (6)] f (x) = 5x + 4 ve g (x) = x – 3 olduğu göz önüne alındığında
Çözüm
İlk olarak, f(g(x)) değerini bulun.
⟹ f (g (x)) = 5(x – 3) + 4
= 5x – 15 + 4
= 5x – 11
Şimdi f(g(x)) içindeki x’i 6 ile değiştirin
⟹ 5(6) – 11
⟹ 30 – 11
= 19
Bu nedenle, f [g (6)] = 19
Örnek 6
f’yi bulun [g (5)] f (x) = 4x + 3 ve g (x) = x – 2 olduğu göz önüne alındığında.
Çözüm
f değerini bularak başlayın [g (x)].
⟹ f(x) = 4x + 3
⟹ g(x) = x – 2
f[g(x)] = 4(x – 2) + 3
= 4x – 8 + 3
= 4x – 5
Şimdi, f [g (5)] x’i f’de yerine koyarak[g(x)] 5 ile.
f [g (x)] = 4(5) – 5
= 15
Dolayısıyla, f [g (5)] = 15.
Örnek 7
g (x) = 2x + 8 ve f (x) = 8x² verildiğinde, (f ∘ g) (x) değerini bulunuz.
Çözüm
(f ∘g) (x) = f [g(x)]
f(x) = 8x²’deki x’i (2x + 8) ile değiştirin
⟹ (f ∘g) (x) = f [g(x)] = 8(2x + 8) ²
⟹ 8 [4x² + 8² + 2(2x) (8)]
⟹ 8 [4x² + 64 + 32x]
⟹ 32x² + 512 + 256 x
⟹ 32x² + 256 x + 512
Örnek 8
f(x) = 6 x² ve g(x) = 14x + 4 ise (g ∘ f) (x)’i bulunuz.
Çözüm
⟹ (g ∘ f) (x) = g [f(x)]
g(x) = 14x + 4 ifadesinde x yerine 6 x² yazınız.
⟹g [f(x)] =14 (6 x²) + 4
= 84 x² + 4
Örnek 9
f(x) = 2x + 3 ve g(x) = -x değerlerini kullanarak (f ∘ g) (x) değerini hesaplayın 2 + 1,
Çözüm
(f ∘ g) (x) = f(g(x))
= 2 (g(x)) + 3
= 2(-x 2 + 1) + 3
= – 2 x 2 + 5
Örnek 10
f(x) = √ (x + 2) ve g(x) = ln (1 – x 2), (g ∘ f) (x)’in etki alanını bulun.
Çözüm
⟹ (g ∘ f) (x) = g(f(x))
⟹ ln (1 – f(x) 2) = ln (1 – √ (x + 2) 2)
⟹ ln (1 – (x + 2))
= ln (- x – 1)
x + 2’yi ≥ 0 olarak ayarlayın
Bu nedenle, alan: [-2, -1]
Örnek 11
İki fonksiyon verildiğinde: f = {(-2, 1), (0, 3), (4, 5)} ve g = {(1, 1), (3, 3), (7, 9)}, (g ∘ f)’yi bulun ve etki alanı ile aralığını belirleyin.
Çözüm
⟹ (g ∘ f) (-2) = g [f (-2)] = g (1) = 1
⟹ (g ∘ f) (0) = g [f (0)] = g(3) = 3
⟹ (g ∘ f)(4) = g[f(4)] = g(5) = tanımsız
Dolayısıyla, g ∘ f = {(-2, 1), (0, 3)}
Bu nedenle, Etki Alanı: {-2, 0} ve Aralık: {1, 3}