Ters fonksiyon nedir?
Matematikte ters fonksiyon, başka bir fonksiyonun etkisini ortadan kaldıran bir fonksiyondur.
Örneğintoplama ve çarpma, sırasıyla çıkarma ve bölmenin tersidir.
Bir fonksiyonun tersi, orijinal fonksiyonun y = x doğrusu üzerinde yansıtılması olarak görülebilir. Basit bir ifadeyle, ters fonksiyon, orijinal fonksiyonun (x, y) değerlerinin (y, x) değerleriyle değiştirilmesiyle elde edilir.
f sembolünü kullanıyoruz – 1 ters fonksiyonu göstermek için kullanılır. Örneğin, f (x) ve g (x) birbirinin tersi ise, bu ifadeyi sembolik olarak şu şekilde gösterebiliriz:
g(x) = f – 1(x) veya f(x) = g-1(x)
Ters fonksiyonla ilgili dikkat edilmesi gereken bir husus, bir fonksiyonun tersinin onun tersi ile aynı olmadığıdır, yani f – 1 (x) ≠ 1/ f(x). Bu makalede bir fonksiyonun tersinin nasıl bulunacağı tartışılacaktır.
Her fonksiyonun tersi olmadığından, tersini belirlemeye başlamadan önce bir fonksiyonun tersi olup olmadığını kontrol etmek önemlidir.
Var olmayan bir şeyi bulmaya çalışarak zaman kaybetmemek için bir fonksiyonun tersinin olup olmadığını kontrol ederiz.
Bire bir fonksiyonlar
Peki verilen bir fonksiyonun tersinin olduğunu nasıl kanıtlarız? Tersi olan fonksiyonlara bire-bir fonksiyonlar denir.
Bir fonksiyonun bire-bir olduğu söylenir, eğer f’nin aralığındaki her y sayısı için f’nin etki alanında f (x) = y olacak şekilde tam olarak bir x sayısı varsa.
Başka bir deyişle, bire-bir fonksiyonun etki alanı ve aralığı aşağıdaki ilişkilere sahiptir:
- f’nin etki alanı-1 = f aralığı.
- F aralığı-1 = f’nin etki alanı.
Örneğin, f(x) = 3x + 5’in bire bir fonksiyon olup olmadığını kontrol etmek için, f(a) = 3a + 5 ve f(b) = 3b + 5 verilebilir.
⟹ 3a + 5 = 3b + 5
⟹ 3a = 3b
⟹ a = b.
Bu nedenle, f (x) bire-bir fonksiyondur çünkü a = b’dir.
Bir f fonksiyonunun f = {(7, 3), (8, -5), (-2, 11), (-6, 4)} ile verildiği başka bir durum düşünün. Bu fonksiyon bire-birdir çünkü y – değerlerinden hiçbiri birden fazla görünmez.
Diğer h = {(-3, 8), (-11, -9), (5, 4), (6, -9)} fonksiyonuna ne dersiniz? h fonksiyonu bire-bir değildir çünkü -9 y- değeri birden fazla kez görünür.
Bire-bir fonksiyonu, fonksiyon grafiği boyunca dikey bir çizgi ve yatay bir çizgi çizerek de grafiksel olarak kontrol edebilirsiniz. Hem yatay hem de dikey çizgi grafikten bir kez geçiyorsa fonksiyon bire-birdir.
Bir Fonksiyonun Tersi Nasıl Bulunur?
Bir fonksiyonun tersini bulmak basit bir işlemdir, ancak birkaç adımda gerçekten dikkatli olmamız gerekir. Bu makalede, ele alacağımız tüm fonksiyonların bire bir olduğunu varsayacağız.
İşte bir f(x) fonksiyonunun tersini bulma prosedürü:
- f(x) fonksiyon gösterimini y ile değiştirin.
- X’i Y ile değiştirin ve tersini yapın.
- 2. adımdan itibaren, y için denklemi çözün. Bu adımda dikkatli olun.
- Son olarak, y’yi f olarak değiştirin-1(x). Bu, fonksiyonun tersidir.
- Aşağıdaki iki ifadenin doğru olup olmadığını kontrol ederek cevabınızı doğrulayabilirsiniz:
⟹ (f ∘ f-1) (x) = x
⟹ (f-1 ∘ f) (x) = x
Birkaç örnek üzerinde çalışalım.
Örnek 1
f (x) = 3x – 2 fonksiyonu verildiğinde, tersini bulun.
Çözüm
f(x) = 3x – 2
f(x)’i y ile değiştirin.
⟹ y = 3x – 2
x’i y ile değiştir
⟹ x = 3y – 2
y için çözün
x + 2 = 3y
Elde etmek için 3’e bölün;
1/3(x + 2) = y
x/3 + 2/3 = y
Son olarak, y’yi f ile değiştirin-1(x).
f-1(x) = x/3 + 2/3
Doğrulayın (f ∘ f-1) (x) = x
(f ∘ f-1) (x) = f [f −1 (x)]
= f (x/3 + 2/3)
⟹ 3(x/3 + 2/3) – 2
⟹ x + 2 – 2
= x
Dolayısıyla, f -1 (x) = x/3 + 2/3 doğru cevaptır.
Örnek 2
f(x) = 2x + 3 verildiğinde, f-1(x).
Çözüm
f(x) = y = 2x + 3
2x + 3 = y
x ve y’yi değiştir
⟹2y + 3 = x
Şimdi y için çözün
⟹2y = x – 3
⟹ y = x/2 – 3/2
Son olarak y yerine f -1(x)
⟹ f -1 (x) = (x- 3)/2
Örnek 3
f (x) = log fonksiyonunu veriniz10 (x), f -1 (x).
Çözüm
f (x) = log₁₀ (x)
f (x)’in y ile değiştirilmesi
⟹ y = log10 (x) ⟹ 10 y = x
Şimdi x ile y’yi değiştirerek elde edin;
⟹ y = 10 x
Son olarak, y yerine f-1(x).
f -1 (x) = 10 x
Bu nedenle, f(x) = log’un tersi10(x) f’dir-1(x) = 10x
Örnek 4
Aşağıdaki g(x) = (x + 4)/ (2x -5) fonksiyonunun tersini bulunuz.
Çözüm
g(x) = (x + 4)/ (2x -5) ⟹ y = (x + 4)/ (2x -5)
y ile x’i veya tersini değiştirin
y = (x + 4)/ (2x -5) ⟹ x = (y + 4)/ (2y -5)
⟹ x(2y-5) = y + 4
⟹ 2xy – 5x = y + 4
⟹ 2xy – y = 4 + 5x
⟹ (2x – 1) y = 4 + 5x
Denklemin her iki tarafını da (2x – 1) ile bölün.
⟹ y = (4 + 5x)/ (2x – 1)
y’yi g ile değiştirin – 1(x)
= g – 1(x) = (4 + 5x)/ (2x – 1)
Kanıt:
(g ∘ g-1) (x) = g [g −1(x)]
= g [(4 + 5x)/ (2x − 1)]
= [(4 + 5x)/ (2x − 1) + 4]/ [2(4 + 5x)/ (2x − 1) − 5]
Hem pay hem de paydayı (2x – 1) ile çarpın.
⟹ (2x – 1) [(4 + 5x)/ (2x − 1) + 4]/ [2(4 + 5x)/ (2x − 1) − 5] (2x – 1).
⟹ [4 + 5x + 4(2x − 1)]/ [ 2(4 + 5x) − 5(2x − 1)]
⟹ [4 + 5x + 8x−4]/ [8 + 10x − 10x + 5]
⟹13x/13 = x
Bu nedenle, g – 1 (x) = (4 + 5x)/ (2x – 1)
Örnek 5
Aşağıdaki f(x) = 2x – 5 fonksiyonunun tersini belirleyin
Çözüm
f(x)’i y ile değiştirin.
f(x) = 2x – 5⟹ y = 2x – 5
Elde etmek için x ve y’yi değiştirin;
⟹ x = 2y – 5
y değişkenini izole edin.
2y = x + 5
⟹ y = x/2 + 5/2
y’yi tekrar f olarak değiştirin -1(x).
⟹ f -1(x) = (x + 5)/2
Örnek 6
h(x) = (x – 2) fonksiyonunun tersini bulunuz.3.
Çözüm
Elde etmek için h(x)’i y ile değiştirin;
h(x) = (x – 2)3⟹ y = (x – 2)3
x ve y’yi değiştir
⟹ x = (y – 2)3
İzole edin.
y3 = x + 23
Denklemin her iki tarafının küp kökünü bulun.
3√y3 = 3√x3 + 3√23
y = 3√ (23) + 2
y’yi h ile değiştirin – 1(x)
h – 1(x) = 3√ (23) + 2
Örnek 7
h(x) = (4x + 3)/(2x + 5)’in tersini bulunuz.
Çözüm
h(x)’i y ile değiştirin.
h (x) = (4x+3)/(2x+5) ⟹ y = (4x + 3)/(2x + 5)
X ve Y’yi değiştirin.
⟹ x = (4y + 3)/ (2y + 5).
Yukarıdaki denklemde y’yi aşağıdaki gibi çözün:
⟹ x = (4y + 3)/ (2y + 5)
Her iki tarafı (2y + 5) ile çarpın
⟹ x (2y + 5) = 4y + 3
X’i dağıtın
⟹ 2xy + 5x = 4y + 3
İzole edin.
⟹ 2xy – 4y = 3 – 5x
⟹ y (2x – 4) = 3 – 5x
Elde etmek için 2x – 4’e bölün;
⟹ y = (3 – 5x)/ (2x – 4)
Son olarak y’yi h ile değiştirin – 1(x).
⟹ h – 1 (x) = (3 – 5x)/ (2x – 4)