Yaşınızı, kilonuzu, doğum günlerinizi, zamanınızı, puanlarınızı, banka hesaplarınızı ve telefon numaralarınızı göstermenin bir yolu olmasaydı hayatınızın nasıl olacağını hayal edebiliyor musunuz? Tüm bu büyüklükleri tanımlamak için on matematiksel rakam (0 ila 9) kullanılır.
Sayılar, bir büyüklüğü temsil etmek için kullanılan rakam dizileridir. Bir sayının büyüklüğü, miktarın büyüklüğünü gösterir. Büyük ya da küçük olabilir. Sayılar 3, 999, 0,351, 2/5, vb. gibi farklı biçimlerde bulunurlar.
Matematikte Sayı Türleri
Tıpkı farklı aile üyelerinin farklı evlerde yaşaması gibi, farklı sayılar da aynı aileden olmakla birlikte farklı türlere sahiptir. Zaman içinde, on basamaklı sayıların farklı örüntüleri çeşitli sayı türleri olarak sınıflandırılmıştır. Bu sayı örüntüleri, farklı temsiller ve özellikler nedeniyle birbirlerinden farklıdır.
Doğal Sayılar
Doğal sayılar ya da sayma sayıları, küçük bir çocukken ilk kez öğrendiğiniz en temel sayı türleridir. Bunlar 1’den başlar ve sonsuza kadar gider, yani 1, 2, 3, 4, 5, 6, vb. Pozitif tamsayılar olarak da adlandırılırlar. Küme formunda şu şekilde yazılabilirler:
{1, 2, 3, 4, 5, …}
Doğal sayılar sembolü ile gösterilir N.
Tam Sayılar
Tam sayılar, sıfır da dahil olmak üzere doğal sayılar kümesidir. Bu, 0’dan başlayıp 1, 2, 3 ve benzeri sayılara kadar gittikleri anlamına gelir, yani
{0, 1, 2, 3, 4, 5, …}
Tam sayılar sembol ile gösterilir W.
Tamsayılar
Tam sayılar, tüm tam sayıların ve doğal sayıların negatiflerinin kümesidir. Negatif sonsuz ile pozitif sonsuz arasında kalan tüm sayıları içerirler. Pozitif, sıfır veya negatif olabilirler ancak ondalık veya kesir olarak yazılamazlar. Tamsayılar küme biçiminde şu şekilde yazılabilir
{…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}
Tüm tam sayıların ve doğal sayıların tam sayı olduğunu söyleyebiliriz, ancak tüm tam sayılar doğal sayı veya tam sayı değildir.
Z sembolü tam sayıları temsil eder.
Kesirler
Kesir, bir bütünün parçalarını temsil eder. Şu şekilde yazılabilir a/bher ikisinin de a ve b tam sayılardır ve b Tüm kesirler rasyonel sayılardır, ancak tüm rasyonel sayılar kesir değildir.
Kesirler ayrıca uygun ve uygun olmayan kesirlere indirgenir. Uygun olmayan kesirler, payın paydadan büyük olduğu, uygun fonksiyonlarda ise bunun tam tersinin geçerli olduğu, yani paydanın paydan büyük olduğu kesirlerdir. Uygun kesirlere örnek olarak 3/7 ve 99/101 verilebilirken, 7/3 ve 101/99 uygun olmayan kesirlerdir. Bu, uygun olmayan kesirlerin her zaman 1’den büyük olduğu anlamına gelir.
Tüm sonlandırıcı ondalıklar ve tekrar eden ondalıklar kesir olarak yazılabilir. Sonlu ondalık 1,25’i 125/100 = 5/4 olarak yazabilirsiniz. Tekrar eden ondalık 0,3333 1/3 olarak yazılabilir.
Rasyonel Sayılar
Rasyonel sayıları kesir biçiminde yazabilirsiniz. Rasyonel sayılar iki tam sayının oranı olduğu için “rasyonel” kelimesi “oran” kelimesinden türetilmiştir. Örneğin, 0,7 rasyonel bir sayıdır çünkü 7/10 şeklinde yazılabilir. Rasyonel sayıların diğer örnekleri -1/3, 2/5, 99/100, 1.57 vb.dir.
Rasyonel bir sayı düşünün p/q, nerede p ve q iki tam sayıdır. Burada, pay p herhangi bir tamsayı (pozitif veya negatif) olabilir, ancak payda q kesir tanımsız olduğu için asla 0 olamaz. Ayrıca, eğer q = 1 ise, kesir bir tam sayıdır.
Q sembolü rasyonel sayıları temsil eder.
İrrasyonel Sayılar
İrrasyonel sayılar kesir biçiminde yazılamaz, yani iki tam sayının oranı olarak yazılamazlar. İrrasyonel sayılara birkaç örnek olarak √2, √5, 0,353535…, π, vb. verilebilir. İrrasyonel sayılardaki rakamların tekrar eden bir örüntü olmadan sonsuza kadar devam ettiğini görebilirsiniz.
Q sembolü irrasyonel sayıları temsil eder.
Gerçek Sayılar
Gerçek sayılar, tüm rasyonel ve irrasyonel sayıların kümesidir. Bu, ondalık biçimde yazılabilen tüm sayıları içerir. Tüm tam sayılar gerçek sayılardır, ancak tüm gerçek sayılar tam sayı değildir. Gerçek sayılar tüm tam sayıları, tam sayıları, kesirleri, tekrar eden ondalıkları, sonlanan ondalıkları ve benzerlerini içerir.
R sembolü gerçek sayıları temsil eder.
Hayali Sayılar
Gerçek sayılar dışındaki sayılar hayali veya karmaşık sayılardır. Hayali bir sayının karesini aldığımızda negatif bir sonuç verir, bu da negatif bir sayının karekökü olduğu anlamına gelir, örneğin √-2 ve √-5. Bu sayıların karesini aldığımızda sonuçlar -2 ve -5 olur. Negatif bir sayının karekökü şu harfle gösterilir iyani.
i = √-1
Örnek 1
16’nın karekökü kaçtır? Cevabınızı hayali sayı cinsinden yazınız i.
Çözüm
- Adım 1: Karekök formunu yazın.
√(-16)
√(16 × -1)
- Adım 3: Karekökleri ayırın.
√(16) × √(-1)
- Adım 4: Karekökü çözün.
4 × √(-1)
- Adım 5: i biçiminde yazın.
4i
Bazen denklemlerin hayali bir çözümünü elde edersiniz.
Örnek 2
Denklemi çözün,
x2 + 2 = 0
Çözüm
- Adım 1: Denklemin diğer tarafındaki sabit terimi alın.
x2 = -2
- Adım 2: Her iki tarafın da karekökünü alın.
√x2 = +√-2 veya -√-2
x = √(2) × √(-1)
x = +√2i veya -√2i
- Adım 4: Değerleri orijinal denkleme yerleştirerek cevapları doğrulayın ve 0 elde edip etmediğimize bakın.
x2 + 2
(+√2i)2 + 2 = -2 + 2 = 0 (aşağıdaki gibi i = √-1 ve karesi i -1’dir)
(-√2i)2 + 2 = -2 + 2 = 0 (aşağıdaki gibi i = √-1 ve karesi i -1’dir)
İsimlerinin “hayali” olması işe yaramaz oldukları anlamına gelmez. Birçok uygulamaları vardır. Hayali sayıların en büyük uygulamalarından biri elektrik devrelerindeki kullanımlarıdır. Akım ve gerilim hesaplamaları hayali sayılar cinsinden yapılır. Bu sayılar karmaşık hesaplamalarda da kullanılır. Bazı yerlerde, hayali sayı şu harfle de temsil edilir j.
Karmaşık Sayılar
Hayali bir sayı, karmaşık bir sayı elde etmek için gerçek bir sayı ile birleştirilir. Şu şekilde gösterilir a + biburada gerçek kısım ve b karmaşık sayının karmaşık kısmıdır. Gerçek sayılar bir sayı doğrusu üzerinde yer alırken, karmaşık sayılar iki boyutlu düz bir düzlem üzerinde yer alır.
Hayali sayılar gibi karmaşık sayılar da işe yaramaz değildir. Sinyaller ve Sistemler ve Fourier Dönüşümü gibi birçok uygulamada kullanılırlar.
Asal Sayılar ve Bileşik Sayılar
Asal ve bileşik sayılar birbirinin tersidir. Asal sayılar kendilerinden ve 1’den başka çarpanı olmayan tam sayılardır, örneğin 2, 3, 5, 7, vb. 4 sayısı asal sayı değildir çünkü 2 ile bölünebilir. Benzer şekilde 12 sayısı da asal sayı değildir çünkü 2, 3 ve 4 ile bölünebilir. Bu nedenle, 4 ve 12 bileşik sayılara örnektir.
Transandantal Sayılar
Rasyonel katsayılara sahip bir polinom denkleminin asla sıfırı (veya kökü) olamayan sayılara transandantal sayılar denir. Tüm irrasyonel sayılar transandantal sayılar değildir, ancak tüm transandantal sayılar irrasyonel sayılardır.
Sayıların Sınıflandırılması
Yukarıda gördüğümüz sayı ailesi de farklı kategorilerde sınıflandırılabilir. Bu tıpkı bir ailenin 20 üyesi olması, ancak her biri 10 üyeden oluşan iki ortak aile evinde yaşamaları, yani 10 üyenin aynı evde yaşaması gibidir. İki veya daha fazla sayı türünün bir kategori altında yer alabileceğini söyleyebiliriz.
Kesikli ve Sürekli Sayılar
Sayılabilen sayı türlerine ayrık sayılar, sayılamayan sayı türlerine ise sürekli sayılar denir. Tüm doğal sayılar, tam sayılar, tam sayılar ve rasyonel sayılar ayrıktır. Bunun nedeni kümelerinin her birinin sayılabilir olmasıdır. Gerçek sayılar kümesi çok büyüktür ve sayılamaz, bu nedenle sürekli sayılar olarak sınıflandırılır. Rastgele en yakın iki reel sayıyı alırsak, aralarında sonsuz sayıda daha reel sayı vardır; dolayısıyla sayılamazlar.
Sayı Kümeleri
Sayılar kümeler şeklinde de sınıflandırılabilir. Her sayı türü, başka bir sayı türünün alt kümesidir. Örneğin, doğal sayılar tam sayıların alt kümesidir. Benzer şekilde, tam sayılar da tam sayıların alt kümesidir. Rasyonel sayılar kümesi tüm tam sayıları ve kesirleri içerir. Rasyonel sayılar ve irrasyonel sayılar kümeleri reel sayıları oluşturur. Reel sayılar, hayali kısmı 0 olan karmaşık sayılar altında yer alır. Bu sayıları aşağıdaki gibi hiyerarşik bir çizelgede sınıflandırabiliriz:
Doğal sayılar ayrıca çift, tek, asal, eş asal, bileşik ve tam kare sayılara indirgenebilir.