Mutlak Değer Nedir?
Mutlak değer, yönü ne olursa olsun, bir noktanın sayı doğrusu üzerinde sıfıra veya orijine olan uzaklığını ifade eder. Bir sayının mutlak değeri her zaman pozitiftir.
Bir sayının mutlak değeri, sayıyı veya ifadeyi çevreleyen iki dikey çizgi ile gösterilir. Örneğin, 5 sayısının mutlak değeri, |5| = 5 şeklinde yazılır. Bu, 0’dan uzaklığın 5 birim olduğu anlamına gelir:
Benzer şekilde, negatif 5’in mutlak değeri |-5| = 5 olarak gösterilir. Bu, 0’dan uzaklığın 5 birim olduğu anlamına gelir:
Bir sayı sadece orijinden uzaklığı göstermekle kalmaz, aynı zamanda mutlak değerin grafiğini çizmek için de önemlidir.
Bir ifade düşünün |x| > 5. Bunu bir sayı doğrusunda göstermek için mutlak değeri 5’ten büyük olan tüm sayılara ihtiyacınız vardır. Bu, sayı doğrusu üzerine açık bir nokta yerleştirilerek grafiksel olarak yapılır.
Başka bir durum düşünün: |x| = 5. Bu, 5’ten küçük veya 5’e eşit olan tüm mutlak değerleri içerir. Bu ifade, sayı doğrusu üzerine kapalı bir nokta yerleştirilerek grafik haline getirilir. Eşittir işareti, karşılaştırılan tüm değerlerin grafiğe dahil edildiğini gösterir.
Eşitsizlikler içeren ifadeleri temsil etmenin kolay bir yolu aşağıdaki kuralları takip etmektir.
- Benim içinx| < 5, -5 < x < 5
- Benim içinx| = 5, -5 = x = 5
- için |x + 6| < 5, -5 < x + 6 < 5
Mutlak Değerin Özellikleri
Mutlak değer aşağıdaki temel özelliklere sahiptir:
- Negatif olmama |a| ≥ 0
- Pozitif-tanımlılık |a| = 0a = 0
- Çarpımlılık |ab| = |a| |b|
- Subadditivity |a + b| ≤ |a| + |b|
- Idempotence ||a|| = |a|
- Simetri |-a| = |a|
- Ayırt edilemez |a – b| = 0 ⇔ a = b özdeşliği
- Üçgen eşitsizliği |a – b| ≤ |a – c| + |c – b|
- Bölünmenin korunması |a/b|=|a|/|b| eğer b ≠ 0 ise
Örnek 1
Basitleştir -|-6|
Çözüm
- Mutlak değer sembollerini parantezlere dönüştürme
-| -6 | = – (6)
- Şimdi negatifleri parantezlerin içinden alabilirim:
– (6) = – 6
Örnek 2
x’in olası değerlerini bulun.
|4x| = 16
Çözüm
Bu denklemde 4x pozitif ya da negatif olabilir. Yani, şöyle yazabiliriz:
4x = 16 veya -4x = 16
Her iki tarafı da 4’e bölün.
x = 4 veya x = -4
Dolayısıyla, x’in iki olası değeri -4 ve 4’tür.
Örnek 3
Aşağıdaki problemleri çözünüz:
a) | -9|’u çözün
Cevap
| -9| = 9
b) | 0 – 8 | ‘i sadeleştirin.
Cevap
| 0 – 8 | = | -8 | = 8
c) | 9 – 3 | ‘ü çözün.
Cevap
| 9 – 3 | = | 6| = 6
d) | 3 – 7 | ‘yi sadeleştirin.
Cevap
| 3 – 7 | = | -4 | = 4
e) Egzersiz | 0 (-12) |.
Cevap
| 0(-12) | = | 0 | = 0
f) | 6 + 2(-2) | ifadesini sadeleştiriniz.
Cevap
| 6 + 2(-2) | = | 6 – 4 | = | 2| = 2
g) -| -6 | ‘yı çözün.
Cevap
-| -6| = – (6) = -6
h) -| (-7)’yi sadeleştirin2 |.
Cevap
-| (-7)2 | = -| 49 | = -49
i) -| -9 | hesaplayın2
Cevap
-| -9 |2 = – (9) 2 = -(4) = -81
j) Basitleştirin (-| -3|) 2.
Cevap
(-| -3|)2 = (-(3)) 2 = (-3) 2 = 9
Örnek 4
Değerlendir: -|-7 + 4|
Çözüm
- Öncelikle, mutlak değer sembolleri içindeki ifadeler üzerinde çalışarak başlayın:
-|-7 + 4| = -|-3| - Parantezleri tanıtın
-|-3| = -(3) = -3 - Yani cevap -3.
Örnek 5
Bir deniz dalgıcı su yüzeyinin -20 feet altındadır. Yüzeye çıkmak için ne kadar yüzmesi gerekir?
Çözüm
|-20| = 20 feet yüzmesi gerekiyor.
Örnek 6
19 – 36(3) + 2(4 – 87)’nin mutlak değerini hesaplayınız?
Çözüm
19 – 36 (3) + 2 (4 – 87)
= 19 – 108 + 2 (-83)
= 19 – 108 – 166
= -255
Örnek 7
Mutlak değerleri belirleyerek denklemi çözün,
2 |-2 × – 2| – 3 = 13
Çözüm
İfadeyi mutlak değer işareti bir tarafta olacak şekilde yeniden yazın.
- İfadenin her iki tarafına da 3 ekleyin
2 | – 2 × – 2| – 3 + 3 = 13 + 3
2 | – 2 × – 2| = 16
|- 2 × – 2| = 8
- Kalan denklem, ifadeyi şu şekilde yazmakla aynıdır:
– 2 × – 2 = 8 veya – 8
- a) -2 x – 2 = 8
Şimdi x için çözün
x = – 5
- b) – 2 x – 2 = – 8
x = 3
- Doğru cevap (-5, 3)’tür.
Örnek 8
İfadenin gerçek değerlerini mutlak değer ile hesaplayın.
|x – 1| = 2x + 1
Çözüm
Bu denklemi çözmenin bir yöntemi de iki durumu göz önünde bulundurmaktır:
a) x – 1 ≥ 0 olduğunu varsayınız ve ifadeyi şu şekilde yeniden yazınız:
x – 1 = 2x + 1
x değerini hesaplayın
x = -2
b) x – 1 ≤ 0 olduğunu varsayın ve bu ifadeyi şu şekilde yeniden yazın
-(x – 1) = 2x + 1
– x + 1 = 2x + 1
x olarak bulun
x = 0
Çözümlerin denklem için doğru olup olmadığını kontrol etmek önemlidir çünkü x’in tüm değerleri varsayılmıştır.
İfadenin her iki tarafında x yerine – 2 yazılırsa elde edilir.
Sol taraf için | (-2) – 1| = |-2 + 1| = 1 ve sağ taraf için 2(-2) + 1 = – 3
İki denklem eşit olmadığından, x = -2 bu denklemin bir cevabı değildir.
x = 0 için kontrol edin
Denklemin her iki tarafında x’in yerine 0 yazıldığında şu sonuçlar elde edilir:
Sol tarafta |(0) – 1| = 1 ve sağ tarafta 2(0) + 1 = 1.
İki ifade eşittir ve bu nedenle x = 0 bu denklemin çözümüdür.