Üslerin veya güçlerin tarihi oldukça eskidir. 9’dainci yüzyılda İranlı bir matematikçi olan Muhammed Musa bir sayının karesini ortaya koymuştur. Daha sonra 15 yılındainci yüzyılda, bir sayının küpünü tanıttılar. Bu endeksleri temsil eden semboller farklıydı, ancak hesaplama yöntemi aynıydı.
Terim ‘üs‘ terimi ilk kez 1544 yılında, ‘indeks’ terimi ise ilk kez 1696 yılında kullanılmıştır. 17. yüzyıldainci yüzyılda üstel gösterim olgunlaştı ve tüm dünyadaki matematikçiler problemlerde bunları kullanmaya başladı.
Üslerin, özellikle nüfus artışı, kimyasal reaksiyonlar ve diğer birçok fizik ve biyoloji alanında birçok uygulaması vardır. Üslerin son örneklerinden biri, enfekte kişilerin sayısında üstel büyüme gösteren pandemik Yeni Koronavirüsün (COVID-19) yayılması için bulunan eğilimdir.
Üslü sayılar nedir?
Üslü sayılar kuvvet veya indislerdir. Cebirsel problemlerde yaygın olarak kullanılırlar ve bu nedenle cebir çalışmayı kolaylaştırmak için bunları öğrenmek önemlidir. Her şeyden önce, üslü bir sayının parçalarını inceleyerek başlayalım.
Üstel bir ifade, b olarak gösterilen taban ve n olarak gösterilen üs olmak üzere iki kısımdan oluşur. Üstel bir ifadenin genel formu b n. Örneğin, 3 x 3 x 3 x 3 üstel formda 3 olarak yazılabilir4 Burada 3 taban ve 4 üs değeridir.
Taban, üslü bir sayının ilk bileşenidir. Taban, temel olarak kendisiyle tekrar tekrar çarpılan bir sayı veya değişkendir. Üs ise tabanın sağ üst köşesinde yer alan ikinci elemandır. Üs, tabanın kendisiyle kaç kez çarpılacağını belirtir.
Üslü Sayılar Yasası
Aşağıda üslerin kuralları veya kanunları verilmiştir:
- Ortak bir tabana sahip kuvvetlerin çarpımı.
Bu yasa, aynı tabana sahip üslerin çarpılması durumunda üslerin birbirine ekleneceğini ifade eder. Genel olarak:
a ᵐ × a ⁿ = a m +n ve (a/b) ᵐ × (a/b) ⁿ = (a/b) m + n
Örnekler
1. 2³ × 2² = (2 × 2 × 2) × (2 × 2) = 2 3 + 2 = 2 ⁵
2. 5 ³ × 5 ⁶
= (5 × 5 × 5) × (5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5)
= 5 3 + 6
= 5 ⁹
3. (-7)10× (-7) ¹²
= [(-7) × (-7) × (-7) × (-7) × (-7) × (-7) × (-7) × (-7) × (-7) × (-7)] × [( -7) × (-7) × (-7) ×
(-7) × (-7) × (-7) × (-7) × (-7) × (-7) × (-7) × (-7) × (-7)]
= (-7) 10 + 12
= (-7) ²²
4. (4/9) 3 x (4/9) 2
= (4/9)3 + 2
= (4/9) 5
- Aynı tabana sahip üsleri bölme
Aynı tabana sahip üslü sayıların bölünmesinde üslerin çıkarılması gerekir. Bu yasanın genel biçimleri şunlardır: (a) m ÷ (a) n = a m – n ve (a/b) m ÷ (a/b) n = (a/b) m – n
Örnekler
1. 10 ⁵ ÷ 10 ³ = (10) 5/ (10) 3
= (10 x 10 x 10 x 10 x 10)/ (10 x 10 x 10)
= 10 5 – 3
= 10 2
2. (7/2) 8 ÷ (7/2) 5
= (7/2)8 – 5
= (7/2) ³
- Bir gücün güç yasası
Bu yasa, üstel bir sayının başka bir güce yükseltilmesi durumunda güçleri çarpmamız gerektiğini ifade eder. Genel yasa şudur:
(a m) n = a m x n
Örnekler
1. (3 ²) ⁴ = 3 2 x 4 = 3 8
2. {(2/3)2} 3 = (2/3) 2 x 3 = (2/3) 6
- Tabanları farklı ancak üsleri aynı olan kuvvetlerin çarpımı yasası.
Kuralın genel şekli şöyledir: (a) m x (b) m = (ab) m
Örnekler
1. 4³ × 2³
= (4 × 4 × 4) × (2 × 2 × 2)
= (4 × 2) × (4 × 2) × (4 × 2)
= 8 × 8 × 8
= 8 ³
2. 2³ × a³
= (2 × 2 × 2) × (a × a × a)
= (2 × a) × (2 × a) × (2 × a)
= (2 × a) ³
= (2a) ³
- Negatif üsler yasası
Bir üs negatif olduğunda, paya 1 ve paydaya pozitif üs yazarak bunu pozitife çeviririz. Bu yasanın genel biçimleri şunlardır: a -m = 1/a m a ve (a/b) -n = (b/a) n
Örnekler
1. 2 -2 = 1/22 = 1/4
2. (2/3) -2 = (3/2) 2
Eğer üs sıfır ise sonuç olarak 1 elde edersiniz. Genel form şöyledir: a 0 = 1 ve (a/b) 0 = 1
Örnekler
1. (-3) 0 = 1
2. (2/3) 0 = 1
Kesirli üslerde genel formül şöyledir: a 1/n = n √a burada a taban ve 1/n üs değeridir. Aşağıdaki örneklere bakınız.
Örnekler
1. 4 1/1 = 4
2. 4 1/2 = √4 = 2 (4’ün silsile kökü)
3. 9 1/3 = 3 √9 =3 (9’un küp kökü)