Eşitlik özellikleri, eşit işareti ile ilişkilendirilen tüm büyüklükler için geçerli olan doğrulardır.
Yani, eşitliğin özellikleri eşit sayılar veya terimler hakkındaki gerçeklerdir. Bu dokuz özellik, matematiğin ve mantığın tüm dallarındaki tüm kanıtlar için temeldir.
Bu bölüme geçmeden önce, aritmetiğin temel özelliklerini gözden geçirdiğinizden emin olun. Bu makale sadece eşitliğin her bir özelliğine genel bir bakış sunmaktadır. Ayrıca, her bir özelliğin daha ayrıntılı bir resmini veren makalelere de bağlantı vermektedir.
Bu bölüm şunları kapsar:
- Eşitliğin Özellikleri Nelerdir?
- Eşitlik Özellikleri Nasıl Kullanılır?
- Eşitlik Özelliklerine Örnekler
Eşitliğin Özellikleri Nelerdir?
Eşitliğin özellikleri şunlardır eşittir işareti ile ilişkilendirilmiş herhangi iki veya daha fazla nicelik hakkındaki gerçekler.
Bu gerçeklerin çoğu, söylenmelerine gerek kalmayacak kadar açık görünebilir. Ancak tam tersine, bunlar aslında matematiğin tüm dalları için temeldir. Açıkça tanımlanmamış olsalardı, matematiğin herhangi bir dalını anlamlı kılmak için yeterli titizlik olmazdı.
Bu gerçeklerin çoğu yüzlerce yıldır bilinmektedir ve birçok kanıtta kullanılmıştır.
Örneğin, Öklid eşitliğin geçişli, eklemeli, çıkarmalı ve dönüşlü özelliklerini şu şekilde tanımlamıştır Elementler yaygın kavramlar olarak. Yani, bu gerçekleri o kadar çok kullanmıştır ki, onlara başvurmayı kolaylaştırmıştır.
Eşitlik özelliklerinin çoğu hem sayısal hem de sayısal olmayan mantıkla da ilgilidir. Bu da onlara hukuk ve bilgisayar bilimi gibi çok çeşitli konularda kullanım olanağı sağlar.
Eşitliğin Toplama Özelliği
Eşitliğin toplama özelliği, iki eşit niceliğe ortak bir değer eklemenin eşitliği koruduğunu söyler.
Yani, eğer $a, b,$ ve $c$ reel sayılarsa ve $a=b$ ise, o zaman:
a+c=b+c$.
Eşitliğin Geçişkenlik Özelliği
Eşitliğin geçişli özelliği, ortak bir terime eşit olan şeylerin birbirine eşit olduğunu belirtir.
Aritmetik olarak, eğer $a, b,$ ve $c$ gerçek sayılarsa ve $a=b$ ve $b=c$ ise, o zaman:
a=c$.
Eşitliğin Çıkarma Özelliği
Eşitliğin çıkarma özelliği, iki eşit terimden ortak bir terim çıkarıldığında eşitliğin geçerli olduğunu söyler.
Yani, eğer $a, b, c$ gerçek sayılarsa ve $a=b$ ise, o zaman:
a-c=b-c$.
Eşitliğin Çarpma Özelliği
Eşitliğin çarpma özelliği, eşit miktarların ortak bir terimle çarpılmasının eşitliği değiştirmediğini belirtir.
Aritmetik olarak, eğer $a, b,$ ve $c$ gerçek sayılarsa ve $a=b$ ise, o zaman:
$ac=bc$.
Eşitliğin Bölünme Özelliği
Eşitliğin bölme özelliği tıpkı toplama, çıkarma ve çarpma özellikleri gibidir. Eşit terimleri ortak bir değere bölmenin, bölen sıfır olmadığı sürece eşitliği koruduğunu söyler.
Yani, $a$ ve $b$ reel sayılarsa, $c$ sıfıra eşit olmayan bir reel sayı ise ve $a=b$ ise, o zaman:
$\frac{a}{c}=\frac{b}{c}$.
Eşitliğin Simetrik Özelliği
Eşitliğin simetrik özelliği, bir terimin eşittir işaretinin sol veya sağ tarafında olmasının önemli olmadığını belirtir.
Aritmetik olarak, eğer $a$ ve $b$ gerçek sayılarsa ve $a=b$ ise, o zaman:
b=a$.
Eşitliğin Refleksif Özelliği
Eşitliğin refleksif özelliği, her şeyin kendine eşit olduğunu söyler.
Yani, herhangi bir gerçek $a$ sayısı için:
a=a$.
Eşitliğin İkame Özelliği
Eşitliğin ikame özelliği, eşit miktarların herhangi bir matematik cümlesinde herhangi bir zamanda birbirinin yerine geçmesine izin verir.
Eşitliğin ikame özelliğini yazmanın kısa ve öz bir aritmetik yolu yoktur. Yine de sonsuz sayıda örnek vardır. Örneğin, $a, b$ ve $c$ reel sayılarsa, $a-4=c$ ve $a=b$ ise:
$b-4=c$.
Eşitliğin Dağıtıcı Özelliği
Eşitliğin dağılımsal özelliği, eşitliğin çarpma ile dağıtıldıktan sonra da geçerli olduğunu belirtir.
Dağılım özelliği herhangi bir sayıda terim için doğru olsa da, en yaygın aritmetik formülasyonu iki terim kullanır.
Örneğin, eğer $a, b,$ ve $c$ reel sayılar ise, o zaman:
$a(b+c)=ab+ac$.
Eşitlik Özellikleri Nasıl Kullanılır?
Eşitlik özellikleri çeşitli matematiksel bağlamlarda kullanışlıdır.
Aritmetikte, eşitlik özellikleri ifadelerin eşdeğer olup olmadığının belirlenmesinde önemli bir rol oynar.
Cebirde, eşitlik özellikleri bilinmeyen bir değişkeni izole etmek ve çözmek için kullanışlıdır.
Eşitlik özellikleri aynı zamanda mantık ve bilgisayar programlama çalışmaları için de temeldir. İç tutarlılığı sağlar ve ispatlar için önemli adımlar sağlarlar.
Örnekler
Bu bölüm, eşitlik özelliklerini kullanan yaygın problemleri ve bunların adım adım çözümlerini kapsamaktadır.
Örnek 1
a=b$ olsun ve $c$ bir reel sayı olsun. Denklemlerin her birini doğrulayan eşitlik özelliğini belirleyiniz.
A. a=a$
B. b=a$
C. a+c=b+c$
Çözüm
Eşitliğin dönüşlü özelliği A ifadesini haklı çıkarır çünkü her şeyin kendisine eşit olduğunu belirtir. Bu da $a$’nın $a$’ya eşit olduğu anlamına gelir.
Eşitliğin simetrik özelliği B ifadesini haklı çıkarır. a=b$ gerçeği verilmiştir. Eşitliğin simetrik özelliği bunu $b=a$ olarak genişletecektir.
Son olarak, eşitliğin toplama özelliği C ifadesini haklı çıkarır. Bunun nedeni, hem $a$ hem de $b$ değerlerine ortak bir değer eklenerek eşitliğin korunmasıdır.
Örnek 2
j=k$, $k=l$ ve $l=m$ olsun.
Bu gerçekler göz önüne alındığında, en az iki eşdeğer ifade bulmak için eşitliğin geçişli özelliğini kullanın.
Çözüm
Geçişli eşitlik özelliği, $a=b$ ve $b=c$ ise $a=c$ olacağını belirtir.
Eşitliğin geçişli özelliğini kullanmak için, önce bir tarafı aynı olan iki denklem bulun. Bu durumda, $j=k$ ve $k=l$’dir.
O zaman, geçiş özelliği gereği $j=l$ olur.
Aynı şekilde, $k=l$ ve $l=m$ olduğundan, geçiş özelliği ile $k=m$ olur.
Ayrıca, $j=k$ ve $k=m$ olduğuna göre, geçişli özelliği bir kez daha kullanırsak, $j=m$ de olur.
Örnek 3
İki yazıcının her birinin içinde 500 sayfa kağıt vardır. Helen ilk yazıcıyı kullanarak 5 sayfalık bir dosya yazdırıyor ve Bob ikinci yazıcıyı kullanarak 5 sayfalık bir dosya yazdırıyor.
Hangi eşitlik özelliği, iki yazıcının içinde hala aynı sayıda kağıt olacağını belirtir?
Çözüm
Bu durumda, öncelikle problemi matematik denklemlerine ve ifadelerine dönüştürmek gerekir.
Birinci yazıcıdaki sayfa sayısı $h$ ve ikinci yazıcıdaki sayfa sayısı $b$ olsun.
$h=500$ ve $b=500$. Geçişli eşitlik özelliği $h=b$ olduğunu söyler.
Ardından, Helen ilk yazıcıdan 5 yaprak kağıt kullanır. Bu nedenle, içinde $h-5$ yaprak kağıt kalacaktır.
Daha sonra Bob ikinci yazıcıdan 5 sayfa kağıt kullanır. Bundan sonra, içinde $b-5$ sayfa kalacaktır.
Eşitliğin dönüşlü özelliğine göre $h=b$ ve $5=5$ olduğundan, eşitliğin çıkarma özelliğine göre $h-5=b-5$ olur.
Dolayısıyla, bu kelime problemi eşitliğin çıkarma özelliğine, eşitliğin dönüşlü özelliğine ve eşitliğin geçişli özelliğine örnekler vermektedir.
Örnek 4
a=b$, $b=c$ ve $d=f$ olsun. Aşağıdaki ispat $a+b(c+d+f)=2a^2+4ad$ olduğunu göstermektedir. İspattaki her adımı gerekçelendirin.
- $a+b(c+d+f)=a+a(c+d+f)$
- $a+a(c+d+f)=2a(c+d+f)$
- $2a(c+d+f)=2a(c+d+d)$
- $2a(c+d+d)=2a(c+2d)$
- $2a(c+2d)=2ac+4ad$
- $2ac+4ad=2aa+4ad$
- $2a^2=4ad$
Çözüm
İlk adım, eşitliğin ikame özelliği nedeniyle doğrudur. a=b$ olduğundan, herhangi biri herhangi bir zamanda diğerinin yerine geçebilir. Bu durumda $a$, $b$’nin yerini alır.
İkinci adım, $a+a=2a$ olduğu için basitleştirmektir.
Üçüncü adımda da eşitliğin ikame özelliği kullanılır. d=f$ olduğundan, herhangi biri herhangi bir zamanda diğerinin yerine geçebilir. Bu durumda $d$, $f$’nin yerini alır.
Yukarıdakine benzer şekilde, dördüncü adım sadeleştirmektir. Bunun nedeni $d+d=2d$ olmasıdır.
Beşinci adım eşitliğin dağılım özelliğini kullanır. Parantez içindeki her bir terimi $2a$ ile çarparak $2a\times c$ ve $2a\times 2d$ elde edin. Bu iki terim $2ac+4ad$ olarak sadeleşir.
Altıncı adım hem eşitliğin geçişli özelliğine hem de eşitliğin ikame özelliğine dayanır. a=b$ ve $b=c$ olduğundan, eşitliğin geçişli özelliğine göre $a=c$ olur.
O halde ikame özelliği, 6. adımda olduğu gibi, $a$’nın herhangi bir denklemde $c$’nin yerini alabileceğini belirtir.
Son olarak, sadeleştirin. $aa=a^2$.
Örnek 5
$\frac{2}{7}x-3=9$ olsun. Eşitlik özelliklerini kullanarak $x$ değerini bulunuz.
Çözüm
İşe $\frac{2}{7}x-3=9$ gerçeğiyle başlayın.
Eşitliğin çıkarma özelliği, her iki tarafa da 3 eklendiğinde iki tarafın yine eşit olacağını söyler. Yani:
$\frac{2}{7}x-3+3=9+3$.
Bu basitleştirir:
$\frac{2}{7}x=12$.
Şimdi, eşitliğin çarpma özelliği, her biri $\frac{7}{2}$ ile çarpıldığında iki tarafın yine eşit olacağını söyler. Yani:
$\frac{7}{2}\times\frac{2}{7}x=\frac{7}{2}\times12$
Bu basitleştirir:
1\times x=42$ veya $x=42$.
Dolayısıyla, $x$ değeri 42$’dir.