Eşitliğin toplama özelliği, eşit miktarların her birine eşit miktarda ekleme yapılırsa, toplamların hala eşit olduğunu belirtir.
Temelde, eşit miktarda su içeren iki kap varsa, her birine bir galon su eklendiğinde kapların yine eşit miktarda suya sahip olacağını söyler.
Hem aritmetik hem de cebir, eşitliğin toplama özelliğini kullanır.
Bu bölüme geçmeden önce, eşitlik ve toplama özelliklerini, özellikle de değişmeli özelliği gözden geçirdiğinizden emin olun.
Bu bölüm şunları kapsar:
- Eşitliğin Toplama Özelliği Nedir?
- Eşitliğin Toplama Özelliği Tanım
- Değişkenlik ve Eşitliğin Toplama Özelliği
- Eşitliğin Toplama Özelliğine Örnek
Eşitliğin Toplama Özelliği Nedir?
Eşitliğin toplama özelliği eşit miktarlar hakkında bir gerçektir. Yani, eşit işareti ile ilişkilendirilmiş iki veya daha fazla miktar olduğu her zaman doğrudur.
Aritmetik, sayı duyusunu geliştirmek ve sayısal büyüklükleri karşılaştırmak için eşitliğin toplama özelliğini kullanır. Cebir de bunu bir değişkeni izole etmek için bir strateji olarak kullanır.
Eşitliğin Toplama Özelliği Tanım
Öklid, eşitliğin toplama özelliğini şu şekilde tanımlar Kitap 1 onun Elementler “eşitler eşitlere eklendiğinde, toplamlar eşittir” derken. Bu gerçeğe o kadar sık atıfta bulunmuştur ki, alıntılanması daha kolay olsun diye buna “ortak kavram 1” adını vermiştir.
Bunu söylemenin bir başka yolu da, zaten eşit olan iki miktara aynı miktarın eklenmesinin eşitliği değiştirmeyeceğidir.
Aritmetik olarak, bu:
Eğer $a=b$ ise, o zaman $a+c=b+c$ olur.
Bunun tersi de doğrudur. Yani, eşit miktarlara farklı miktarlar eklenirse, toplamlar artık eşit değildir.
Aritmetik olarak, bu:
Eğer $a=b$ ve $c\neq d$ ise o zaman $a+c$, $b+d$’ye eşit değildir.
Bu, belirtmeye değmeyecek kadar açık bir gerçek gibi görünebilir. Ancak tam tersine, geniş kapsamlı etkileri vardır.
Öklid bu gerçeği eserinde birçok kanıtta kullanmıştır ElementlerBatı Medeniyetinin matematiksel bilgisinin şekillenmesine yardımcı olmuştur.
Toplama eşitliği özelliği cebirde bir değişkenden herhangi bir miktar çıkarıldığında da kullanılır. Bunun nedeni, çıkarılan miktarın geri eklenmesinin değişkeni izole etmeye ve değerini çözmeye yardımcı olmasıdır.
Değişkenlik ve Eşitliğin Toplama Özelliği
Toplama işleminin değişmeli olduğunu hatırlayın. Bu, işlemlerin sırasını değiştirmenin sonuçta elde edilen toplamı değiştirmediği anlamına gelir.
Aritmetik olarak, $a+b=b+a$.
Değişkenliği eşitliğin toplama özelliği ile birleştirmek mümkündür. Diyelim ki $a, b, c$ reel sayılar ve $a=b$ olsun. O zaman eşitliğin toplama özelliği şunu ifade eder:
$a+c=b+c$
Değişkenlik şunu ifade eder:
a+c=c+b$, $c+a=b+c$ ve $c+a=c+b$
Eşitliğin Toplama Özelliği Örnekleri
Bu bölüm, eşitliğin toplama özelliğini içeren yaygın problem örneklerini ve bunların adım adım çözümlerini kapsamaktadır.
Örnek 1
a, b, c$ ve $d$ reel sayılar olsun. Eğer $a$, $b$’ye eşitse ve $c$, $d$’ye eşitse, aşağıdakilerden hangisi denktir ve neden?
- a+c$ ve $b+c$
- a+c$ ve $b+d$
- a+b$ ve $c+d$
Çözüm
İlk iki grup eşdeğer iken son grup eşdeğer değildir.
a+c=b+c$ çünkü $a=b$. Her ikisine de $c$ eklemek, her iki tarafa da aynı miktarın eklendiği anlamına gelir. Bu, eşitliğin toplama özelliğinin tam tanımıdır.
a+c=b+d$ çünkü $a=b$ ve $c=d$. Biliyoruz ki $a+c=b+c=b+d$’dir. Dolayısıyla, her ikisi de $b+c$’ye eşit olduğu için $a+c=b+d$ olur.
Sonuncusu mutlaka eşit değildir çünkü a, $c$ veya $d$’ye eşit değildir ve $b$ de $c$ veya $d$’ye eşit değildir. a=b$ ve $c=d$ olduğundan, $a+b$ $2a$ veya $2b$’ye eşittir. Aynı şekilde $c+d$ de $2c$ veya $2d$’ye eşittir. $2a \neq 2c$ ve $2a \neq 2d$. Benzer şekilde, $2b \neq 2c$ ve $2b \neq 2d$.
Örnek 2
Jack ve Denzel aynı boydadır. Daha sonra her iki çocuğun da boyu 5 santim uzar. Boyları uzadıktan sonra boyları nasıl karşılaştırılır?
Çözüm
Jack ve Denzel uzadıktan sonra da aynı boydalar.
Jack’in boyu inç cinsinden $j$ ve Denzel’in boyu inç cinsinden $d$ olsun. Verilen bilgilere göre $j=d$ olsun.
Jack iki santim uzadıktan sonra boyu $j+2$ olur.
Denzel iki santim uzadıktan sonra boyu $d+2$ olur.
Her biri aynı miktarda, 2 inç büyüdüğü için, eşitliğin toplama özelliği, yine de aynı boyda olacaklarını söyler.
Yani, $j+2=d+2$.
Örnek 3
Kayla’nın bir el sanatları fuarına getirdiği ürün miktarı $k+5+3$ ifadesiyle gösterilir.
Frankie’nin bir el sanatları fuarına getirdiği ürün miktarı $f+3+5$ ifadesiyle gösterilir.
Eğer $k=f$ ise, el sanatları fuarına kim daha fazla ürün getirdi?
Çözüm
Her kişi el işi fuarına aynı miktarda ürün getirir.
Kayla $k+5+3$ ürün getiriyor. 5+3=8$ olduğundan, bu ifade $k+8$ olarak sadeleşir.
Frankie $f+3+5$ ürün getiriyor. 3+5=8$ olduğundan, bu ifade $f+8$ olarak sadeleşir.
k=f$ olduğundan, eşitliğin toplamsal özelliği $k+8=f+8$ olduğunu belirtir. Dolayısıyla, $k+5+3=f+3+5$ olur.
Dolayısıyla her iki kişi de aynı miktarda ürün getirmektedir.
Örnek 4
Bir çizginin uzunluğu $m$ santimetre ve diğerinin uzunluğu $n$ santimetre olsun. Bu iki çizgi aynı uzunluktadır.
Uzunluğu $m$ olan çizgi 4 santimetre uzatılır ve $n$ uzunluğu dört kez uzatılır.
Jeremy bu durumu düşünür ve eşitliğin toplama özelliği nedeniyle iki yeni çizginin de aynı uzunluğa sahip olacağını söyler. Onun hatası nedir?
Çözüm
İki orijinal çizgi, $m$ ve $n$, aynı uzunluğa sahip olmasına rağmen, yeni çizgiler aynı uzunluğa sahip olmayacaktır. Bunun nedeni, iki çizginin üzerine aynı miktarda uzunluk eklenmemiş olmasıdır.
İlk çizginin uzunluğu 4 santimetre artar. Yani, çizginin yeni uzunluğu $m+4$ santimetredir.
Öte yandan, ikinci çizginin uzunluğu dört kat artar. Bu da yeni çizginin uzunluğunun $4n$ santimetre olduğu anlamına gelir.
4n=n+3n$ olduğuna dikkat edin.
Bu nedenle, yeni çizgiler $m+4$ santimetre ve $n+3n$ santimetredir. m$ ve $n$ eşit olsa bile, $4=3n$ olmadığı sürece yeni çizgiler eşit değildir. Bu iki niceliğin aynı olduğu belirtilmediğinden, ortaya çıkan çizgilerin eşit olduğu bilinmemektedir.
Örnek 5
Toplama eşitliği özelliğinin tüm reel sayılar için doğru olduğunu hatırlayın. Bu gerçeği eşitliğin çıkarma özelliğini kanıtlamak için kullanın.
Yani, bunu kanıtlayın:
Eğer $a=b$ ise, herhangi bir gerçek sayı $c$ için $a-c=b-c$ olur.
Çözüm
n, a,$ ve $b$ reel sayılar olsun ve $a=b$ olsun. Eşitliğin toplama özelliği şunu belirtir:
$a+n=b+n$
n$ reel bir sayı olduğu için $-n$ de reel bir sayıdır. Bu nedenle:
$a+(-n)=b+(-n)$
Negatif eklemek çıkarmakla aynı şeydir, dolayısıyla bu denklem şu şekilde basitleşir:
a-n=b-n$
Böylece, eşitliğin çıkarma özelliği eşitliğin toplama özelliğinden kaynaklanır. Yani, $a=b$ olan herhangi bir $a, b,$ ve $n$ reel sayıları için, $a-n=b-n$ olması gerektiği gibidir.
QED.