Eşitliğin çıkarma özelliği, iki eşit nicelikten ortak bir değer çıkarılırsa farkların eşit olacağını belirtir.
Bu temel gerçek, hem aritmetik hem de cebir dahil olmak üzere matematiğin birçok dalı için önemlidir.
Bu bölüme geçmeden önce, genel eşitlik özellikleri konusunu gözden geçirdiğinizden emin olun.
Bu bölüm şunları kapsar:
- Eşitliğin Çıkarma Özelliği Nedir?
- Eşitliğin Çıkarma Özelliği Tanım
- Eşitliğin Çıkarma Özelliği ve Eşitliğin Toplama Özelliği
- Çıkarma İşlemi Örneği Eşitlik Özelliği
Eşitliğin Çıkarma Özelliği Nedir?
Eşitliğin çıkarma özelliği iki veya daha fazla eşit nicelikten ortak bir değer çıkarıldığında eşdeğerliğin geçerli olduğunu belirtir.
Aritmetikte bu gerçek, eşdeğer değerlerin bulunmasında yardımcı olur. Cebirde, bir değişkeni izole etmek ve değerini bulmak için kullanılan önemli bir adımdır. Ayrıca bazı geometrik ispatlarda da önemli bir rol oynar.
Diğer eşitlik özellikleri gibi, eşitliğin çıkarma özelliği de açık görünebilir. Bununla birlikte, bir kanıttaki tüm adımların mantıksal olarak geçerli ve sağlam olmasını sağladığı için tanımlanması gereklidir.
Antik çağ matematikçileri eşitliğin çıkarma özelliğini biliyor ve tanıyorlardı. Aslında, Öklid buna o kadar çok atıfta bulunmuştur ki, eserinde buna bir isim, ortak kavram 3, vermiştir. ElementlerMÖ üçüncü yüzyılda yazılmıştır. Bunu aksiyomatik ya da doğruluğunun kanıtlanmasına gerek olmayan bir şey olarak düşündü.
Daha sonra, 19. yüzyılda, matematiksel titizliğe odaklanma ön plana çıktığında, Giuseppe Peano doğal sayılar için kendi aksiyom listesini oluşturdu. Eşitliğin çıkarma özelliğini doğrudan dahil etmemiştir. Bunun yerine, toplama ve buna bağlı olarak çıkarma, genellikle onun aksiyomlarını artırır.
Bu özellik doğal sayıların ötesinde de geçerlidir; tüm gerçek sayılar için geçerlidir.
Eşitliğin Çıkarma Özelliği Tanım
Öklid, eşitliğin çıkarma özelliğini ortak kavram 2 olarak tanımlamıştır. Elementler: “Eğer eşitler eşitlerden çıkarılırsa, farklar eşit olur.”
Başka bir deyişle, iki miktar eşitse ve her birinden ortak bir değer çıkarılırsa, farklar hala eşittir.
Aritmetik olarak, eğer $a, b,$ ve $c$ gerçek sayılar ise, bu
Eğer $a=b$ ise, o zaman $a-c=b-c$ olur.
Eşitliğin çıkarma özelliği tüm gerçek sayılar için doğrudur.
Eşitliğin Çıkarma Özelliği ve Eşitliğin Toplama Özelliği
Eşitliğin çıkarma özelliği ve eşitliğin toplama özelliği yakından ilişkilidir.
Toplama eşitliği ve çıkarma eşitliği özelliklerinin her ikisinin de tüm reel sayılar için doğru olduğunu hatırlayın. Özellikle, hem pozitif hem de negatif sayılar için doğrudurlar.
Çıkarma işlemi negatif eklemekle aynı şeydir, yani eşitliğin toplama özelliğinden eşitliğin çıkarma özelliğini çıkarmak mümkündür.
Aynı şekilde, negatif çıkarmak da toplamakla aynı şeydir. Dolayısıyla, eşitliğin toplama özelliği eşitliğin çıkarma özelliğinden çıkarılabilir.
O halde neden çoğu aksiyom listesi (kanıtlanması gerekmeyen ve doğru olduğu varsayılabilecek şeylerin listesi) her ikisini de içerir?
Bunun birkaç nedeni vardır. Birincisi, Öklid’in ortak kavramları ve Peano’nun aksiyomları gibi tarihsel listeler her ikisini de içeriyordu. Bu da tarihsel ispatların toplama ve çıkarma aksiyomlarının ayrı olmasına dayandığı anlamına gelir.
İkinci olarak, ayrı bir çıkarma aksiyomuna sahip olmak, negatif değerlerin mantıklı olmadığı durumlarda yardımcı olur. Bunun bir örneği geometrik kanıtlar, bir diğeri ise doğal sayıları içeren kanıtlardır.
Eşitlik özelliği tüm reel sayılar için geçerli olsa da, bazen tüm reel sayıları dahil etmek bağlam içinde mantıklı olmayabilir.
Aşağıdaki örnek ispat bu durumlardan biridir. Ek olarak, örnek 3, eşitliğin toplama özelliğinin çıkarma özelliğinden resmi bir çıkarımını içerir.
Çıkarma İşlemi Örneği Eşitlik Özelliği
Eşitliğin çıkarma özelliğine bir örnek, burada gösterilen kopyalanmış bir çizginin inşasına ilişkin kanıttan gelmektedir.
Kanıt, verilen yapıda, inşa edilen AF doğrusunun verilen BC doğrusu ile aynı uzunlukta olduğunu göstermektedir. Yani, AF=BC’dir.
Bunu ilk olarak DE ve DF doğrularının her ikisinin de merkezi D ve yarıçapı DE olan dairenin yarıçapları olduğuna dikkat ederek yapar. Bu nedenle DE=DF’dir.
O halde, ABD bir eşkenar üçgen olduğundan, AD=BD olduğunu not eder. Bunun nedeni, eşkenar bir şekildeki tüm bacakların aynı uzunluğa sahip olmasıdır.
Kanıt daha sonra DE=DF ve AD=BD olduğundan DE-BD=DF-AD olduğunu belirterek eşitliğin çıkarma özelliğine başvurur.
DE-BD, BE hattından ayrılır ve DF-AD, AF hattından ayrılır.
Kanıt, geçişli özellik ile sona erer. AE ve BC aynı dairenin yarıçapları olduğundan, uzunlukları eşittir. Eğer AE=AF ve AE=BC ise, geçişli özellik BC=AF olduğunu belirtir. Bu, ispatın asıl amacıydı.
Örnekler
Bu bölüm, eşitliğin çıkarma özelliğini kullanan yaygın problemleri ve bunların adım adım çözümlerini kapsamaktadır.
Örnek 1
Eğer $a=b$ ve $c$ ve $d$ reel sayılar ise, aşağıdakilerden hangisi eşittir?
- a-c$ ve $b-c$
- a-d$ ve $b-d$
- a-c$ ve $b-d$
Çözüm
İlk ikisi, eşitliğin çıkarma özelliğinin basit bir uygulaması ile eşittir. c$ kendisine eşit olduğundan ve $a=b$ olduğundan, $a-c=b-c$ olur.
Aynı şekilde, $d$ kendisine eşit olduğundan, $a-d=b-d$ olur.
Üçüncüsünün $c$ ve $d$’ye eşit olması zorunlu değildir. Bir karşı örnek $a=4$, $b=4$, $c=2$ ve $d=3$ şeklindedir. Bu durumda, $a=b$, ancak $a-c=4-2=2$ ve $b-d=4-3=1$ olur. $2\neq1$, dolayısıyla $a-c\neq b-d$.
Örnek 2
İki torba un aynı ağırlığa sahiptir. Her bir torbadan 8 ons un çıkarılırsa, torbaların yeni ağırlıkları birbirlerine kıyasla nasıl olur?
Çözüm
Çantalar hala aynı ağırlığa sahip.
İlk torbanın ağırlığı ons cinsinden $a$ ve ikinci torbanın ağırlığı ons cinsinden $b$ olsun. a=b$ olduğunu biliyoruz.
Şimdi, her torbadan 8 ons un çıkarıldı. İlk torbanın kalan ağırlığı $a-8$ ve ikinci torbanın kalan ağırlığı $b-8$’dir.
Aynı miktarda ağırlık kaldırıldığından, eşitliğin çıkarma özelliği bize $a-8=b-8$ olduğunu söyler. Yani, torbalar hala aynı ağırlığa sahiptir.
Örnek 3
x$ öyle bir reel sayı olsun ki $x+5=17$ olsun. Eşitliğin çıkarma özelliğini kullanarak $x$ değerini bulunuz.
Çözüm
Eşitliğin çıkarma özelliği, bir denklemin her iki tarafından ortak bir terimin çıkarılmasının mümkün olduğunu belirtir.
x$ değerini çözmek için değişkeni izole etmek gerekir. Bu durumda, denklemin sol tarafından 5 çıkarmak bunu yapacaktır.
Elde etmek için denklemin her iki tarafından 5 çıkarın:
$x+5-5=17-5$
O zaman basitleştirin.
$x=12$
Bu nedenle, $x=12$.
İkame özelliği bu çözümü kontrol etme fırsatı verir.
$12+5=17$
Örnek 4
Eşitliğin çıkarma özelliğinin, eşitliğin toplama özelliğini çıkarmak için kullanılabileceğini kanıtlayınız.
Çözüm
Eşitliğin çıkarma özelliği, eğer $a, b,$ ve $c$, $a=b$ olacak şekilde gerçel sayılarsa, o zaman $a-c=b-c$ olacağını belirtir. Bunun aynı zamanda $a+c=b+c$ anlamına geldiğini göstermek gerekir.
c$ reel bir sayı olduğu için $-c$’nin de reel bir sayı olduğuna dikkat ediniz.
Dolayısıyla, eğer $a=b$ ise, o zaman $a-(-c)=b-(-c)$ olur.
Negatifi çıkarmak, pozitifi toplamakla aynı şeydir, dolayısıyla bu $a+c=b+c$ şeklinde basitleştirilir.
Dolayısıyla, $a=b$ olacak şekilde herhangi bir $a, b,$ ve $c$ reel sayıları için, $a+c=b+c$ olur. Bu, gerektiği gibi eşitliğin toplama özelliğidir. QED.
Örnek 5
a, b,$ ve $c$ gerçek sayılar olsun, öyle ki $a=b$ ve $b=2+c$ olsun.
Eşitliğin çıkarma özelliğini ve eşitliğin geçişli özelliğini kullanarak $a-c=2$ olduğunu gösterin.
Çözüm
a=b$ ve $b=2+c$ olduğundan, eşitliğin geçişli özelliği $a=2+c$ olduğunu belirtir.
Şimdi, eşitliğin çıkarma özelliğine göre, eşitliği koruyarak her iki taraftan $c$ çıkarmak mümkündür. Yani
$a-c=2+c-c$
c-c=0$ olduğundan, bu işlem şu şekilde basitleştirilir
$a-c=2+0$
Bu daha da basitleştirir:
$a-c=2$
Dolayısıyla, $a-c$ de gerektiği gibi $2$’ye eşittir. QED.
GeoGebra ile görseller/matematiksel çizimler oluşturulur.