Bağıntılar ve Fonksiyonlar – Açıklama ve Örnekler

Yazarı:

Fonksiyonlar ve bağıntılar cebirin en önemli konularından biridir. Çoğu durumda, birçok insan bu iki terimin anlamını karıştırma eğilimindedir.

Bu makalede, aşağıdakileri tanımlayacak ve detaylandıracağız Bir ilişkinin fonksiyon olup olmadığını nasıl belirleyebilirsiniz?. Daha derine inmeden önce, fonksiyonların kısa bir tarihçesine bakalım.

Fonksiyon kavramı 17. yüzyılda matematikçiler tarafından gün ışığına çıkarılmıştır.inci yüzyılda ortaya çıkmıştır. 1637 yılında matematikçi ve ilk modern filozof Rene Descartes, kitabında birçok matematiksel ilişkiden bahsetmiştir Geometri. Yine de “fonksiyon” terimi resmi olarak ilk kez yaklaşık elli yıl sonra Alman matematikçi Gottfried Wilhelm Leibniz tarafından kullanılmıştır. Bir fonksiyonu ifade etmek için y = x, bir fonksiyonun türevini ifade etmek için dy/dx notasyonunu icat etmiştir. y = f (x) gösterimi 1734 yılında İsviçreli matematikçi Leonhard Euler tarafından tanıtılmıştır.

Şimdi fonksiyonlar ve ilişkilerde kullanılan bazı temel kavramları gözden geçirelim.

Küme, farklı veya iyi tanımlanmış üyelerden veya elemanlardan oluşan bir koleksiyondur. Matematikte, bir kümenin üyeleri küme parantezleri veya {} parantezleri içinde yazılır. Varlıkların üyeleri; sayılar, insanlar veya alfabetik harfler gibi herhangi bir şey olabilir.

Örneğin,

{a, b, c, …, x, y, z} alfabe harflerinden oluşan bir kümedir.

{…, -4, -2, 0, 2, 4, …} çift sayılardan oluşan bir kümedir.

{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, …} asal sayılardan oluşan bir kümedir

İki kümenin eşit olduğu söylenir; aynı üyeleri içerirler. A = {1, 2, 3} ve B = {3, 1, 2} olmak üzere iki küme düşünün. Üyelerin A ve B kümelerindeki konumları ne olursa olsun, iki küme eşittir çünkü benzer üyeler içerirler.

  • Sıralı çift sayıları nedir?

Bunlar el ele giden rakamlardır. Sıralı çift sayıları parantez içinde gösterilir ve virgülle ayrılır. Örneğin, (6, 8), 6 ve 8 sayılarının sırasıyla birinci ve ikinci elemanlar olduğu bir sıralı çift sayısıdır.

Etki alanı bir bir fonksiyonun tüm girdi veya ilk değerlerinin kümesi. Girdi değerleri genellikle bir fonksiyonun ‘x’ değerleridir.

Bir fonksiyonun aralığı, tüm çıktı veya ikinci değerlerin bir koleksiyonudur. Çıktı değerleri bir fonksiyonun ‘y’ değerleridir.

Matematikte, bir fonksiyon, bir kümedeki her elemanı birbiriyle ilişkilendiren bir kural olarak tanımlanabilirolarak adlandırılan başka bir kümenin tam olarak bir elemanına, aralık olarak adlandırılır. Örneğin, y = x + 3 ve y = x2 – 1 fonksiyonlardır çünkü her x-değeri farklı bir y-değeri üretir.

Bir ilişki, sıralı çift sayıların herhangi bir kümesidir. Başka bir deyişle, bir ilişkiyi sıralı çiftler demeti olarak tanımlayabiliriz.

Fonksiyon Türleri

Fonksiyonlar ilişkiler açısından aşağıdaki gibi sınıflandırılabilir:

  • Enjektif veya bire-bir fonksiyon: Enjektif fonksiyon f: P → Q, P’nin her bir elemanı için Q’nun farklı bir elemanı olduğunu ifade eder.
  • Çoktan teke: Çoktan bire fonksiyonu iki veya daha fazla P elemanını Q kümesinin aynı elemanına eşler.
  • Surjective veya onto fonksiyonu: Bu, Q kümesinin her elemanı için P kümesinde bir ön görüntüsü olan bir fonksiyondur.
  • Bijective fonksiyon.

Cebirdeki yaygın fonksiyonlar şunları içerir:

  • Doğrusal Fonksiyon
  • Ters Fonksiyonlar
  • Sabit Fonksiyon
  • Kimlik Fonksiyonu
  • Mutlak Değer Fonksiyonu

Bir İlişkinin Fonksiyon Olup Olmadığı Nasıl Belirlenir?

Bir ilişkinin fonksiyon olup olmadığını grafiksel olarak ya da aşağıdaki adımları izleyerek kontrol edebiliriz.

  • X veya giriş değerlerini inceleyin.
  • Ayrıca y veya çıktı değerlerini de inceleyin.
  • Tüm girdi değerleri farklıysa, ilişki bir fonksiyon haline gelir ve değerler tekrarlanıyorsa, ilişki bir fonksiyon değildir.

Not: Birinci üyelerin tekrarı ile ikinci üyelerin ilişkili tekrarı varsa, ilişki bir fonksiyon haline gelir.

Örnek 1

Aşağıdaki ilişkinin alanını ve aralığını belirleyiniz:

{(-2, 3), {4, 5), (6, -5), (-2, 3)}

Çözüm

x değerleri etki alanı olduğundan, cevap şu şekildedir,

⟹ {-2, 4, 6}

Aralık {-5, 3, 5} şeklindedir.

Örnek 2

Aşağıdaki bağıntının bir fonksiyon olup olmadığını kontrol edin:

B = {(1, 5), (1, 5), (3, -8), (3, -8), (3, -8)}

Çözüm

B = {(1, 5), (1, 5), (3, -8), (3, -8), (3, -8)}

Bir ilişki, x değerlerinin tekrarı varsa fonksiyon olarak sınıflandırılmasa da, x değerleri karşılık gelen y değerleriyle birlikte tekrarlandığı için bu sorun biraz zorlayıcıdır.

Örnek 3

Aşağıdaki fonksiyonun tanım alanını ve aralığını belirleyiniz: Z = {(1, 120), (2, 100), (3, 150), (4, 130)}.

Çözüm

z’nin etki alanı = {1, 2, 3, 4 ve aralık {120, 100, 150, 130}’dur.

Örnek 4

Aşağıdaki sıralı çiftlerin fonksiyon olup olmadığını kontrol edin:

  1. W= {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5)
  2. Y = {(1, 6), (2, 5), (1, 9), (4, 3)}

Çözüm

  1. W = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5)} içindeki tüm ilk değerler tekrarlanmaz, bu nedenle bu bir fonksiyondur.
  2. Y = {(1, 6), (2, 5), (1, 9), (4, 3)} bir fonksiyon değildir çünkü ilk değer olan 1 iki kez tekrarlanmıştır.

Örnek 5

Aşağıdaki sıralı sayı çiftlerinin bir fonksiyon olup olmadığını belirleyiniz.

R = (1,1); (2,2); (3,1); (4,2); (5,1); (6,7)

Çözüm

Verilen sıralı sayı çiftleri kümesinde x değerlerinin tekrarı yoktur.

Dolayısıyla, R = (1,1); (2,2); (3,1); (4,2); (5,1); (6,7) bir fonksiyondur.

Yorum yapın