Denklem Sistemleri Nasıl Çözülür?
Şimdiye kadar, tek değişken içeren doğrusal denklemlerin nasıl çözüleceği hakkında fikir sahibi oldunuz. Peki ya size bir denklem sunulduğunda birden fazla değişken içeren çoklu doğrusal denklemler? İki veya daha fazla değişkenli doğrusal denklemler kümesi denklemler sistemi.
Doğrusal denklem sistemlerini çözmenin çeşitli yöntemleri vardır.
Bu makalede öğrenilecekler yaygın olarak kullanılan yöntemleri kullanarak doğrusal denklemlerin nasıl çözüleceğiyani ikame ve eleme.
İkame yöntemi
İkame, bir denklemdeki bir değişkenin izole edildiği ve daha sonra kalan değişkeni çözmek için başka bir denklemde kullanıldığı doğrusal denklemleri çözme yöntemidir.
İkame için genel adımlar şunlardır:
- Verilen denklemlerden birinde bir değişken için formülün öznesini oluşturun.
- Bu değişkenin değerini ikinci denklemde yerine koyun.
- Değişkenlerden birinin değerini elde etmek için denklemi çözün.
- Diğer değişkenin değerini de elde etmek için elde edilen değeri herhangi bir denklemde yerine koyun.
Yerine koyma yöntemini kullanarak birkaç örnek çözelim.
Örnek 1
Aşağıdaki denklem sistemlerini çözünüz.
b = a + 2
a + b = 4.
Çözüm
b değerini ikinci denklemde yerine koyun.
a + (a + 2) = 4
Şimdi a için çöz
a +a + 2 = 4
2a + 2 = 4
2a = 4 – 2
a = 2/2 = 1
Elde edilen a değerini ilk denklemde yerine koyun.
b = a + 2
b = 1 + 2
b = 3
Dolayısıyla, iki denklemin çözümü: a =1 ve b=3’tür.
Örnek 2
Aşağıdaki denklemleri yerine koyma yöntemini kullanarak çözünüz.
7x – 3y = 31 — (i)
9x – 5y = 41 — (ii)
Çözüm
Denklem (i)’den,
7x – 3y = 31
Denklemdeki formülün öznesini y yapın:
7x – 3y = 31
7x – 3y = 31 denkleminin her iki tarafından 7x’i çıkararak elde edin;
– 3y = 31 – 7x
3y = 7x – 31
3y/3 = (7x – 31)/3
Bu nedenle, y = (7x – 31)/3
Şimdi y = (7x – 31)/3 denklemini ikinci denklemde yerine koyun: 9x – 5y = 41
9x – 5 × (7x – 31)/3 = 41
Denklem çözüldüğünde;
27x – 35x + 155 = 41 × 3
-8x + 155 – 155 = 123 – 155
-8x = -32
8x/8 = 32/8
x = 4
x değerini y = (7x – 31)/3 denkleminde yerine koyarak elde ederiz;
y = (7 × 4 – 31)/3
y = (28 – 31)/3
y = -3/3
y = -1
Dolayısıyla, bu denklem sistemlerinin çözümü x = 4 ve y = -1’dir.
Örnek 3
Aşağıdaki denklem kümelerini çözünüz:
2x + 3y = 9 ve x – y = 3
Çözüm
İkinci denklemde x’i formülün öznesi haline getirin.
x = 3 + y.
Şimdi, x’in bu değerini ilk denklemde yerine koyun: 2x + 3y = 9.
⇒ 2(3 + y) + 3y = 9
⇒ 6 + 2y + 3y = 9
y = ⅗ = 0.6
Elde edilen y değerini ikinci denklemde yerine koyun – y =3.
⇒ x = 3 + 0.6
x = 3.6
Dolayısıyla çözüm x = 3,6 ve y = 0,6’dır.
Eliminasyon yöntemi
Denklem sistemleri eleme yöntemi kullanılarak çözülürken aşağıdaki adımlar izlenir:
- Verilen denklemlerin katsayılarını bir sabit ile çarparak eşitleyiniz.
- Ortak katsayılar aynı işarete sahipse yeni denklemleri çıkarın ve ortak katsayılar zıt işarete sahipse toplayın,
- Toplama ya da çıkarma işleminden kaynaklanan denklemi çözme
- Diğer değişkenin değerini elde etmek için elde edilen değeri herhangi bir denklemde yerine koyun.
Örnek 4
4a + 5b = 12,
3a – 5b = 9
Çözüm
İki denklemde b katsayıları aynı olduğundan, terimleri dikey olarak toplarız.
4a+3a) +(5b – 5b) = 12 + 9
7a = 21
a = 21/ 7
a = 3
Elde edilen a=3 değerini ilk denklemde yerine koyunuz
4(3) + 5b = 12,
12 + 5b = 12
5b = 12-12
5b =0
b = 0/5 = 0
Bu nedenle çözüm a =3 ve b = 0’dır.
Örnek 5
Eliminasyon yöntemini kullanarak çözün.
2x + 3y = 9 —-(i)
x – y = 3 —-(ii)
Çözüm
İki denklemi 2 ile çarpın ve çıkarma işlemini gerçekleştirin.
2x + 3y = 9
(-)
2x – 2y = 6
-5y = -3
y = ⅗ = 0.6
Şimdi elde edilen y değerini ikinci denklemde yerine koyun: x – y = 3
x – 0.6 = 3
x = 3.6
Dolayısıyla çözüm şudur: x = 3,6 ve y= 0,6