İki sayının en büyük ortak çarpanını bilmek, kesirleri sadeleştirirken veya matematiksel ifadeleri çarpanlarına ayırırken yardımcı olabilir. En büyük ortak çarpan, en küçük ortak katı bulma yöntemlerinden birinde de kullanılır.
En Büyük Ortak Faktör Nedir?
Sıfır olmayan sayılardan oluşan bir kümenin en büyük ortak çarpanı, kümedeki her bir sayıyı eşit olarak bölen en büyük pozitif tam sayıdır. En büyük ortak faktör GCF olarak kısaltılır. Bazen en büyük ortak bölen olarak da adlandırılır.
Bir sayının ikinci bir sayının çarpanı olduğunu hatırlayın, eğer ikinciyi birinciye kalansız bölebiliyorsanız. Yani, iki sayının bölümü bir tam sayıdır.
En Büyük Ortak Faktör Nasıl Bulunur?
Bir sayı kümesinin En Büyük Ortak Faktörünü bulmanın birkaç farklı yolu vardır: pozitif çarpanları listeleme, asal çarpanlara ayırma ve tekrarlı bölme.
Genel olarak, pozitif faktörleri listelemek, çok sayıda faktörü olmayan iki düşük değerli sayı ile uğraşırken en iyi sonucu verir.
İkiden fazla sayı içeren kümelerle uğraşırken asal çarpanlara ayırmayı kullanmak işe yarayabilir.
Tekrarlanan bölme işlemi, iki yüksek değerli sayı içeren bir kümenin en büyük ortak faktörünü bulmak için genellikle en hızlı yöntemdir.
Olumlu Faktörleri Listeleme
Bu yöntemle en büyük ortak çarpanı bulmak için, kümedeki sayıların tüm pozitif çarpanlarını küçükten büyüğe doğru sıralayın. Ardından, kümedeki sayıların ortak olan en büyük faktörünü not edin. Bu en büyük ortak faktördür.
Örneğin, 10 ve 15’in en büyük ortak faktörünü bulmak için, her birinin faktörlerini listeleyin ve gösterildiği gibi ikisinin ortak olan en büyük faktörünü not edin. Bu durumda, 5 en büyük ortak faktördür.
Bu yöntem, çok sayıda faktörü olan sayılar için hızla sıkıcı hale gelebilir. Ayrıca sayıları listelerken bir çarpanı gözden kaçırmak kolaydır, bu da yöntemi hataya açık hale getirir. Bu nedenlerle, pozitif çarpanları listelemek, öğrencilerin genellikle çarpım tablosunda ezberledikleri gibi “tanıdık” sayılar için en iyi sonucu verir.
Asal Çarpanlara Ayırma İşlemini Kullanma
En büyük ortak çarpanı bulmak için asal çarpanlara ayırma işlemini kullanmak için, önce kümedeki her sayının asal çarpanlarına ayırın. Ardından, tüm çarpanlara ayrılmış formlarda görünen asal sayıları çarpın. Bu çarpım kümenin en büyük ortak çarpanıdır.
Herhangi bir sayının asal çarpanlarına ayırma işlemini bir çarpan ağacı kullanarak bulabileceğinizi hatırlayın. Bu 196 için çarpan ağacıdır.
Asal çarpanlara ayırma, çarpan ağacındaki tüm asal sayıların çarpımıdır. 196 için asal çarpanlara ayırma 2x2x7x7’dir.
Asal çarpanlara ayırma yöntemini kullanarak 144 ve 96 sayılarının en büyük ortak çarpanını bulmak için öncelikle her iki sayı için de gösterildiği gibi bir çarpan ağacı oluşturun.
O halde 144’ün asal çarpanlarına ayrılması 2x2x2x2x3x3’tür ve 96’nın asal çarpanlarına ayrılması 2x2x2x2x2x3’tür.
Ortak asal sayılar 2x2x2x2x3’tür.
Bunların çarpımı, en büyük ortak faktör olan 48’i verir.
Tekrarlanan Bölme
En büyük ortak çarpanı bulmak için yinelemeli bölme olarak da bilinen tekrarlı bölme işlemini kullanmak asal çarpanlara ayırma işlemine benzer, ancak gereksiz adımları ortadan kaldırır.
Bir kümedeki her terimi ortak bir çarpana (en büyük olması gerekmez) bölerek, geriye kalan sayıların 1 dışında ortak çarpanı kalmayana kadar çalışır. Bu tür sayılar şöyle adlandırılır coprime. En büyük ortak faktör, tekrarlanan bölme işleminde kullanılan tüm ortak faktörlerin çarpımı olacaktır.
Bu nedenle, kullanılan faktörlerin bir çetelesini tutmak önemlidir. Bunu yapmanın en kolay yolu, 1200 ve 1960’ın en büyük ortak faktörünü bulmak için aşağıda kullanılana benzer bir tablo oluşturmaktır.
Bu örnekte, sırasıyla 120 ve 196 elde etmek için önce 1200 ve 1960’ı 10’a bölün. Bu sayıları tabloya kaydedin.
Sırasıyla 60 ve 98 elde etmek için 120 ve 196’yı 2’ye bölün. Bu sayıları da tabloya kaydedin.
Ardından, 60 ve 98’in her birini 2’ye bölerek sırasıyla 30 ve 49’u elde edin. Bu da tabloya kaydedilmelidir.
49 yalnızca 1, 7 ve 49’a bölünebildiğinden ve 30, 7 veya 49’a bölünemediğinden, 30 ve 49 ortaktır. Bu noktada bölmeyi durdurun.
Ardından, GCF’yi bulmak için sol taraftaki sütunda yer alan sayıları çarpın. Bu durumda, 10x2x2=40, yani 40, 1200 ve 1960’ın en büyük ortak çarpanıdır.
Sayı kümesini bölmek için kullanılan çarpanların asal olması gerekmediğini ve tekrarlanan bölmenin asal çarpanlara ayırmadan daha verimli olmasının nedenlerinden birinin bu olduğunu unutmayın.
İpuçları
Eğer iki sayı birbirinin eşiyse, en büyük ortak çarpanları 1’dir.
Bir sayı kümesinin en büyük ortak faktörünün kümedeki sayılardan biri olması mümkündür. Örneğin, 10 ve 20’nin en büyük ortak çarpanı 10’dur.
Bir sayının 2, 3, 4, 5, 6, 9 ve 10’a bölünüp bölünemeyeceğini hızlı bir şekilde belirlemek için en büyük ortak çarpanı bulmaya yönelik üç yöntemden herhangi birine yardımcı olabilecek bazı püf noktaları vardır.
- 2: Tüm çift sayılar 2’ye bölünebilir
- 3: Bir sayı, rakamlarının toplamı 3’ün katı ise 3 ile bölünebilir. Örneğin, 178923 3 ile bölünebilir çünkü 1+7+8+9+2+3=30 ve 30 3 ile bölünebilir.
- 4: Bir sayının son iki rakamı 4’e bölünebiliyorsa, o sayı 4’e bölünebilir. Örneğin, 1234564 sayısı 4’e bölünebilir çünkü 64 sayısı 4’e bölünebilir.
- 5: Bir sayı 5 veya 0 ile bitiyorsa 5’e bölünebilir.
- 6: Bir sayı 2 ve 3 ile bölünebiliyorsa 6 ile bölünebilir.
- 9: Bir sayının rakamlarının toplamı 9’un bir katına eşitse bu sayı 9’a bölünebilir. Örneğin, 18297 sayısı 9’a bölünebilir çünkü 1+8+2+9+7=27’dir ve 27 sayısı 9’a bölünebilir.
- 10: Bir sayı 0 ile bitiyorsa 10’a bölünebilir.
Uygulama
Faktörlerin Listelenmesi
Sorular
- 18 ve 27’nin en büyük ortak faktörünü bulunuz.
- 25, 75 ve 125’in en büyük ortak faktörünü bulun.
- 19 ve 32’nin en büyük ortak çarpanını bulun.
Çözümler
18’in pozitif faktörleri 1, 2, 3, 6, 9 ve 18’dir.
- 27’nin pozitif faktörleri 1, 3, 9 ve 27’dir.
Her iki listede de görünen en büyük sayı 9’dur, dolayısıyla bu en büyük ortak faktördür. - 25’in pozitif faktörleri 1, 5 ve 25’tir.
75’in pozitif faktörleri 1, 3, 5, 25 ve 75’tir.
125’in pozitif faktörleri 1, 5, 25 ve 125’tir.
Her üç listede de görünen en büyük sayı 25’tir, dolayısıyla bu en büyük ortak faktördür. - 19’un pozitif faktörleri 1 ve 19’dur.
32’nin pozitif çarpanları 1, 2, 4, 8, 16 ve 32’dir.
Her iki listede de görünen en büyük ve tek sayı 1’dir, dolayısıyla bu sayı en büyük ortak çarpandır. Bu nedenle, 19 ve 32 eştir.
Asal Çarpanlara Ayırma İşlemini Kullanma
Sorular
- 1272 ve 294’ün en büyük ortak faktörünü bulunuz.
- 900, 360 ve 729’un en büyük ortak faktörünü bulun.
- 72, 144, 258 ve 824’ün en büyük ortak faktörünü bulun.
Çözümler
- 1272’nin asal çarpanlarına ayrılması 2x2x2x3x53’tür.
294’ün asal çarpanlarına ayrılması 2x3x7x7’dir.
Hem 1272 hem de 294 bir 2 ve bir 3 içerir, bu nedenle en büyük ortak faktör 2×3=6’dır. - 900’ün asal çarpanlarına ayrılması 2x2x3x3x5x5 şeklindedir.
360’ın asal çarpanlarına ayrılması 2x2x2x3x3x5 şeklindedir.
729’un asal çarpanlarına ayrılması 3x3x3x3x3’tür.
Her üç çarpanlara ayrılmış form da iki adet 3 içerir, dolayısıyla en büyük ortak çarpan 3×3=9’dur. - 72’nin asal çarpanlarına ayrılması 2x2x2x3x3’tür.
144’ün asal çarpanlarına ayrılması 2x2x2x2x3x3’tür.
258’in asal çarpanlarına ayrılması 2x3x43’tür.
824’ün asal çarpanlarına ayrılması 2x2x2x103’tür.
Bu durumda, dört çarpanlara ayrılmış formda da görünen tek sayı 2’dir, dolayısıyla bu sayı en büyük ortak çarpandır.
Tekrarlanan Bölme İşlemini Kullanma
Sorular
- 896 ve 976’nın en büyük ortak faktörünü bulmak için tekrarlı bölme işlemini kullanın.
- 7740 ve 7380’in en büyük ortak faktörünü bulmak için tekrarlı bölme işlemini kullanın.
- 180, 144 ve 108’in en büyük ortak çarpanını bulmak için tekrarlı bölme işlemini kullanın.
Çözümler
- Sırasıyla 448 ve 488 elde etmek için 896 ve 976’yı 2’ye bölün.
Sırasıyla 224 ve 244 elde etmek için 448 ve 488’i 2’ye bölün.
Sırasıyla 112 ve 122 elde etmek için 224 ve 244’ü 2’ye bölün.
Sırasıyla 56 ve 61 elde etmek için 112 ve 122’yi 2’ye bölün.
61 asal olduğu için 56 ve 61 eş asaldır.
Bu nedenle, en büyük ortak faktör 2x2x2x2=16’dır. - 7740 ve 7380’i 10’a bölerek sırasıyla 774 ve 738 elde edin.
774 ve 738’i 2’ye bölerek sırasıyla 387 ve 369 elde edin.
387 ve 369’u 9’a bölerek sırasıyla 43 ve 41 elde edin.
43 ve 41 asal olduğundan, en büyük ortak çarpan 10x2x9=180’dir. - 180, 144 ve 108’i 12’ye bölerek sırasıyla 15, 12 ve 9 elde edin.
Sırasıyla 5, 4 ve 3 elde etmek için 15, 12 ve 9’u 3’e bölün.
5, 4 ve 3’ün ortak çarpanı yoktur, bu nedenle 180, 144 ve 108’in en büyük ortak çarpanı 12×3=36’dır.