Eşitliğin geçişli özelliği, her ikisi de üçüncü bir şeye eşit olan iki şeyin birbirine eşit olduğunu belirtir.
Birden fazla eşit nicelik arasında bir ilişki kurar ve aritmetik, mantık ve cebirde önemli uygulamaları vardır.
Eşitliğin ikame özelliği ve eşitliğin dönüşlü özelliği kullanılarak kanıtlanabilmesine rağmen, genellikle aksiyomatik olarak ele alınır. Yani, doğru olduğu kanıtlanmaz ancak doğru olduğu varsayılır.
Bu bölümü okumadan önce, eşitlik özelliklerini gözden geçirdiğinizden emin olun.
Bu bölüm şunları kapsar:
- Eşitliğin Geçişli Özelliği Nedir?
- Eşitliğin Geçişli Özelliği Tanım
- Eşitliğin Geçişli Özelliği Bir Aksiyom mudur?
- Eşitliğin Geçişli Özelliğine Örnek
Eşitliğin Geçişli Özelliği Nedir?
Eşitliğin geçişli özelliği Her ikisi de üçüncü bir niceliğe eşit olan iki nicelik arasındaki ilişkiyi tanımlar. Bu iki nicelik de eşit olacaktır.
Diğer aksiyomlar gibi, bu da sezgisel görünebilir ve belirtilmesi gereksiz görünebilir. Ancak bunu belirtmek aritmetiğin titiz olmasını sağlar. Yani, mantıksal incelemeye dayanır.
Özelliğe bir isim ve resmi bir tanım vermek, ispatlarda referans vermeyi de kolaylaştırır.
Öklid, 1. Kitap’ın en başında geçişlilik özelliğini tanımlarken tam da bunu yapmıştır Elementler. Buna “ortak kavram 1” adını verdi ve çalışmalarındaki mantıksal adımların temelini oluşturdu.
Eşitliğin Geçişli Özelliği Tanım
İçinde ElementlerÖklid, ortak kavram 1’i tanımlarken eşitliğin geçişli özelliğini tanımlar. Tanımına göre, “aynı şeye eşit olan şeyler aynı zamanda birbirlerine de eşittir.”
Yani, eşitliğin geçişli özelliği, her ikisi de bir üçüncüye eşit olan iki şeyin birbirine eşit olduğunu ileri sürer.
Aritmetik olarak, bu:
Eğer $a=b$ ve $b=c$ ise, o zaman $a=c$ de olur.
Eşitliğin geçişli özelliği tüm gerçek sayılar için doğrudur.
Eşitliğin Geçişli Özelliği Bir Aksiyom mudur?
Eşitliğin geçişli özelliği aynı zamanda Peano aksiyomlarından biridir. Bu, 1800’lerde matematikçi Giuseppe Peano tarafından ortaya konan bir dizi aksiyom veya ispatlarda kabul edilen gerçeklerdir. Peano’nun aksiyomları yalnızca doğal sayılar için geçerli olmakla birlikte, ilkelerin çoğu genişletilmiştir.
Peano’dan önce başkaları da aksiyom listeleri hazırlamıştı. Örneğin, Öklid’in ortak kavramları Elementler kanıtlanmadıkları için aksiyom olarak görülebilirler. Peano’nunki dikkate değerdi çünkü biçimsel matematiksel mantık gelişirken listesinin aritmetiği daha titiz hale getirmede bir yardımcı olmasını amaçlamıştı.
Ancak aksiyomlardan ikisi, yani eşitliğin geçişli özelliği ve eşitliğin simetrik özelliği, diğer aksiyomlardan çıkarılabilir. Çünkü bunlar temel olarak kabul edilmiş ve tarihsel olarak kullanılmıştır. Ancak Peano yine de bunları listelemiştir. Diğerleri de genellikle aynı şeyi yapar ve onları kendi başlarına aksiyomlar olarak kabul eder.
Eşitliğin yer değiştirme özelliğinden geçişli özelliğin çıkarılması aşağıda örnek 3’te gösterilmiştir. Uygulama problemi 3, eşitliğin dönüşlü özelliğinden geçişli özelliğin çıkarılmasını gerektirir.
Eşitliğin Geçişli Özelliğine Örnek
Eşitliğin geçişli özelliğinin ünlü bir örneği, bir cetvel ve pergel kullanarak bir eşkenar üçgenin ortak yapısının kanıtlanmasıdır. İspat, inşa edilen nesnenin gerçekten de bir eşkenar üçgen olduğunu göstermeyi amaçlamaktadır.
Yapı, verilen bir doğru parçası olan AB ile başlar. Daha sonra iki daire inşa edilir. Birinin merkezi A ve yarıçapı AB iken, diğerinin merkezi B ve yarıçapı BA’dır.
İki dairenin kesişme noktası C ile işaretlenmiştir. Daha sonra, A’yı C’ye ve B’yi C’ye bağlayarak ABC eşkenar üçgenini oluştururuz.
Neden?
AB, merkezi A ve yarıçapı AB olan dairenin yarıçapıdır (sarı daire). AC de bu dairenin bir yarıçapıdır ve tüm yarıçaplar eşittir, yani AB=AC.
AB aynı zamanda merkezi B ve yarıçapı BA olan çemberin yarıçapıdır, çünkü toplamanın dönüşlü özelliği gereği AB=BA’dır. BC de bu çemberin bir yarıçapı olduğundan AB=BC’dir.
AB=BC ve AB=AC olduğundan, eşitliğin geçişli özelliği AC=BC olduğunu belirtir. Dolayısıyla, her üç doğru da birbirine eşittir ve ABC’yi bir eşkenar üçgen yapar.
Örnekler
Bu bölüm, eşitliğin geçişli özelliğini kullanan yaygın problemleri ve bunların adım adım çözümlerini kapsamaktadır.
Örnek 1
a=b, b=c$ ve $c=d$ olduğunu varsayalım. Aşağıdakilerden hangisi eşdeğerdir?
- a$ ve $c$
- b$ ve $d$
- a$ ve $d$
Çözüm
Bu çiftlerin üçü de eşittir, ancak sonuncusunu kanıtlamak için ilk denklemi kullanmalıyız.
a=b$ ve $b=c$ olduğundan, eşitliğin geçişli özelliğine göre a=c$ olur.
Aynı şekilde, $b=c$ ve $c=d$ olduğundan, eşitliğin geçişli özelliği $b=d$ olduğunu belirtir.
Şimdi, ilk maddeden $a=c$ olduğunu biliyoruz. Ayrıca $c=d$ olduğu da verilmiştir. Dolayısıyla, eşitliğin geçişli özelliğini uyguladığımızda, $a=d$ olur.
Örnek 2
Üç kız kardeş boylarını karşılaştırır.
Miranda, Shaylee ile aynı boyda.
Shaylee, Tia ile aynı boyda.
Miranda’nın boyu Tia’nınkine kıyasla nasıl?
Çözüm
m$ Miranda’nın boyu, $s$ Shaylee’nin boyu ve $t$ Tia’nın boyu olsun.
Verilen ifadeler bize $m=s$ ve $s=t$ olduğunu söyler.
Eşitliğin geçişli özelliğini kullanmak bize $m=t$ değerini verir.
Bu nedenle, Miranda’nın boyu da Tia’nın boyuna eşit olmalıdır.
Örnek 3
Eşitliğin geçişli özelliğini kanıtlamak için eşitliğin ikame özelliğini nasıl kullanacağınızı açıklayınız.
Çözüm
Eşitliğin geçişli özelliğinin genellikle aksiyomatik olarak listelendiğini hatırlayın. Yani, çoğu matematiksel mantık geçişli özelliğin geçerli olduğunu kanıtlamaz. Bunun yerine, bunu temel bir gerçek olarak varsayar.
Ancak geçişli özellik, eşitliğin diğer özelliklerinden çıkarılabilir. Yani, geçişli özellik ikame özelliğinden kaynaklanır.
Eşitliğin geçişli özelliğinin, $a=b$ ve $b=c$ ise, $a=c$ olduğunu belirttiğini hatırlayın.
a, b, c$ reel sayılar olsun, öyle ki $a=b$ ve $b=c$ olsun.
O halde eşitliğin ikame özelliği, $b=c$ olduğundan, $c$’nin herhangi bir denklemde $b$’nin yerini alabileceğini belirtir.
Dolayısıyla, ikame özelliğine göre $a=c$ olur.
Ama bu geçişkenlik özelliğini kanıtlar. QED.
Örnek 4
Eşitliğin geçişli özelliği, eğer $a, b,$ ve $c$, $a=b$ ve $b=c$ olacak şekilde gerçek sayılarsa, o zaman $a=c$ olacağını belirtir. Tersi geçerli midir?
Yani, eğer $a, b,$ ve $c$ reel sayılar ise ve $a\neq b$ ve $b\neq c$ ise, o zaman $a\neq c$ olur.
Çözüm
Bu durumda tersi geçerli değildir.
Matematikte bir ifadenin ancak aşağıdaki durumlarda doğru olduğunu hatırlayın her zaman doğrudur. Tek bir durumda bile yanlışsa yanlıştır.
Bu nedenle, “tüm asal sayılar tektir” ifadesi yanlıştır. Sadece bir tane çift asal sayı vardır, 2, ancak bu tüm ifadeyi yanlış yapmak için yeterlidir.
Bir ifadenin yanlış olduğunu kanıtlamak için sadece bir karşı örnek bulmak gerekir.
Bu durumda, $a=c$ ancak $a\neq b$ ve $c\neq b$ olacak şekilde üç $a, b,$ ve $c$ sayısının bulunması gerekmektedir.
Olası bir karşı örnek, $a=1$, $b=0$ ve $c=1$ ise.
Bu durumda, eşitliğin geçişli özelliği, $a=1$ ve $c=1$ olduğundan, $a=c$ olduğunu belirtir.
Ancak, $a\neq b$ ve $c\neq b$. Bu nedenle, eşitliğin geçişli özelliğinin tersi doğru değildir.
Örnek 5
w, x, y$ ve $z$ reel sayılar olsun, öyle ki
$3y-2w+2z=7z+2y$
ve
$-4x+4w-3z=2z+6w-5x$
Geçiş özelliğini kullanarak $x=y$ olduğunu gösterin.
Çözüm
Bu problem öncelikle $x$ ve $y$ için eşitliğin toplama ve çıkarma özelliklerini kullanarak çözmeyi gerektirir.
Eğer $3y-2w+2z=7z+2y$ ise, eşitliğin çıkarma özelliği her iki taraftan $2y$ çıkarmanın mümkün olduğunu belirtir.
$3y-2y-2w+2z=7z+2y-2y$
Bu basitleştirir:
$y-2w+2z=7z$
Ardından, her iki tarafa $2w-2z$ ekleyin. Eşitliğin toplama özelliği, bunu yapmanın ve eşitliği korumanın mümkün olduğunu söyler.
$y-2w+2z+2w-2z=7z+2w-2z$
Bu basitleştirir:
$y=5z+2w$
Ardından, $x$ değerini çözmek için eşitlik ve sadeleştirmenin toplama ve çıkarma özelliklerini kullanın.
$-4x+4w-3z=2z+6w-5x$
İlk olarak, her iki tarafa 5x eklemek için eşitliğin toplama özelliğini kullanın.
$-4x+5x+4w-3z=2z+6w-5x+5x$
Bu basitleştirir:
$x+4w-3z=2z+6w$
Ardından, her iki taraftan 4w-3z’yi çıkarın. Eşitliğin çıkarma özelliği, bunun eşitliği etkilemeyeceğini belirtir.
$x+4w-3z-(4w-3z)=2z+6w-(4w-3z)$
Bu olur:
$x+4w-3z-4w+3z=2z+6w-4w+3z$
bu da basitleştirir:
$x=5z+2w$
y$, $5z+2w$’ye eşit olduğundan ve $x$ de $5z+2w$’ye eşit olduğundan, eşitliğin geçişli özelliği $x=y$ olduğunu ileri sürer.
GeoGebra ile görseller/matematiksel çizimler oluşturulur.