Eşitliğin simetrik özelliği, bir terimin eşittir işaretinin sağında veya solunda olmasının önemli olmadığını belirtir.
Bu özellik esasen bir denklemin sol ve sağ taraflarını çevirmenin hiçbir şeyi değiştirmediğini ifade eder. Bu gerçek aritmetik, cebir ve bilgisayar bilimlerinde kullanışlıdır.
Okumaya devam etmeden önce, eşitliğin özelliklerini gözden geçirdiğinizden emin olun.
Bu bölüm şunları kapsar:
- Eşitliğin Simetrik Özelliği Nedir?
- Eşitliğin Simetrik Özelliği Tanım
- Eşitliğin Simetrik Özelliğine Örnek
Eşitliğin Simetrik Özelliği Nedir?
Eşitliğin simetrik özelliği Temel olarak bir denklemin her iki tarafının da aynı olduğunu ifade eder. Bu mantıklıdır çünkü bir şey simetrik olduğunda, her iki tarafta da aynıdır.
Eşitliğin simetrik özelliği, bir denklemin sol tarafının sağ taraf olmasına veya tam tersinin olmasına izin verir. Eşitliği matematikte bir denklik ilişkisi olarak kurar.
Eşdeğerlik İlişkileri
Bir denklik ilişkisi, dönüşlü, simetrik ve geçişli olan bir matematik ilişkisidir. Yani, eğer iki şey bir denklik ilişkisi ile ilişkiliyse, o zaman:
- Şeylerin kendileriyle bir eşdeğerlik ilişkisi vardır.
- Denklik ilişkisinin sırası önemli değildir.
- Eğer iki şeyin her ikisi de üçüncü bir şeyle eşdeğerlik ilişkisine sahipse, o zaman birbirleriyle eşdeğerlik ilişkisine sahiptirler.
“Eşdeğerlik ilişkisi” terimi göz önüne alındığında, eşitliğin bir eşdeğerlik ilişkisi olduğu mantıklıdır. Ancak, tek denklik ilişkisi değildir. Üçgenlerde benzerlik ve uygunluk da eşdeğerlik ilişkileridir.
Eşitliğin simetrik özelliği açık görünse bile, bu şekilde çalışmayan başka ilişkiler de vardır. Örneğin, bir terimin büyüktür işaretinin sağında mı yoksa solunda mı olduğu önemlidir.
Eşitliğin Simetrik Özelliği Tanım
Eşitliğin simetrik özelliği, birinci terimin ikinciye eşit olması durumunda ikincinin de birinciye eşit olacağını belirtir.
Esasen bu özellik, bir eşittir işaretinin sol tarafında hangi terimin, sağ tarafında hangi terimin bulunduğunun önemli olmadığını söyler.
Aritmetik olarak, $a$ ve $b$ öyle reel sayılar olsun ki $a=b$ olsun. Eşitliğin simetrik özelliği şunu belirtir:
b=a$
Converse
Eşitliğin simetrik özelliğinin tersi de doğrudur. Yani, eğer $a$ ve $b$ öyle reel sayılar ise $a\neq b$, o zaman $b\neq a$.
Eşitliğin Simetrik Özelliği Bir Aksiyom mudur?
Öklid eşitliğin simetrik özelliğine bir isim vermemiştir, ancak onu kullanmıştır. Bunun nedeni, eşitliğin simetrik özelliğinin bahsedilmeye değmeyecek kadar temel görünmesi olabilir.
Giuseppe Peano, 1800’lerde aritmetik çalışmaları daha resmi hale gelirken bir aksiyomlar listesi hazırladı. Onun listesi eşitliğin simetrik özelliğini içeriyordu. Bunun nedeni muhtemelen simetri, dönüşlülük ve geçişliliğin bir denklik ilişkisi kurmak için gerekli olmasıdır.
Ancak simetrik özellik, eşitliğin yer değiştirme ve dönüşlü özelliklerinden türetilebilir. Örnek 3 tam da bunu yapmaktadır.
Eşitliğin Simetrik Özelliğine Örnek
Simetri önemsiz gibi görünecek kadar açık olabilir. Ancak günlük dilde, eşitliğin simetrik özelliğinin geçerli olmadığı önemli bir durum söz konusudur. Bu da simetrinin hafife alınmaması gerektiğini vurgular.
Genel olarak, konuşmadan matematiksel ifadelere geçerken “is” sözcüğü “=” olarak çevrilir.
Brokoli ise yeşil olduğu söylenebilir. Ancak bu, diğer şekilde çalışmaz. Eğer yeşilse, brokoli değildir.
Bu durumda, brokoli $\neq$ yeşil. Bunun yerine, brokoli $\Rightarrow$ yeşil. Bu “brokoli yeşil anlamına gelir” olarak okunur.
Bu nedenle, simetri kesin olarak kabul edilmemelidir. Çıkarımlar ve karşılaştırmalar (büyüktür, küçüktür) sadece tek yönde çalışan ilişkilerin örnekleridir.
Örnekler
Bu bölüm, eşitliğin simetrik özelliğini kullanan yaygın problemleri ve bunların adım adım çözümlerini kapsamaktadır.
Örnek 1
a, b, c$ ve $d$ reel sayılar olsun, öyle ki $a=b$ ve $c=d$ olsun. Aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A. b=a$
B. d=c$
C. $bc=ac$
Çözüm
İlk iki ifade simetrik özelliğe göre doğrudur. Üçüncüsü ise hem simetrik hem de çarpma özelliğinden dolayı doğrudur.
Simetrik özellik, eğer $a=b$ ise, o zaman $b=a$ olduğunu belirtir. Aynı şekilde, eğer $c=d$ ise, o zaman $d=c$’dir.
Eğer $a=b$ ve $c$ bir reel sayı ise, o zaman $ac=bc$ olur. Bu, eşitliğin çarpma özelliğine göre doğrudur. O halde simetrik özellik $bc=ac$ olduğunu da belirtir.
Örnek 2
Dünya’dan Mars’a olan mesafe 232,54 milyon mildir. Mars’tan Dünya’ya olan uzaklık nedir? Eşitliğin hangi özellikleri bunu doğrulamaktadır?
Çözüm
Dünya’dan Mars’a olan uzaklık 232,54 milyon mildir. Eşitliğin simetrik özelliğine göre, Mars’tan Dünya’ya olan mesafe de aynıdır. O da 232,54 milyon mil olacaktır.
Neden?
Eşitliğin simetrik özelliği, $a$ ve $b$, $a=b$ olacak şekilde gerçek sayılarsa, $b=a$ olacağını belirtir.
Dünya’dan Mars’a olan uzaklık, Mars’tan Dünya’ya olan uzaklığa eşittir. Dolayısıyla, Mars’tan Dünya’ya olan mesafe Dünya’dan Mars’a olan mesafeye eşittir.
Eşitliğin geçişli özelliğine göre $a, b,$ ve $c$ gerçek sayılar olsun. Eğer $a=b$ ve $b=c$ ise, o zaman $a=c$ olur.
Dünya’dan Mars’a olan uzaklığın 232,54 milyon mil olduğunu ve Mars’tan Dünya’ya olan uzaklığın Dünya’dan Mars’a olan uzaklığa eşit olduğunu unutmayın. Dolayısıyla, eşitliğin geçişli özelliği, Mars’tan Dünya’ya olan mesafenin de 232,54 milyon mil olacağını belirtir.
Örnek 3
Eşitliğin simetrik özelliğini türetmek için eşitliğin ikame ve dönüşlü özelliklerini kullanın.
Çözüm
Eşitliğin ikame özelliği, $a$ ve $b$’nin $a=b$ olacak şekilde gerçek sayılar olduğunu söyler. O zaman $a$ herhangi bir denklemde $b$ yerine geçebilir. Eşitliğin dönüşlü özelliği, herhangi bir $a$ reel sayısı için $a=a$ olduğunu belirtir.
a=b$ olarak verilmiştir. Eşitliğin dönüşlü özelliği $b=b$ olduğunu belirtir.
O halde ikame özelliği, $a$’nın herhangi bir denklemde $b$’nin yerini alabileceğini belirtir. Böylece, $b=b$ olduğundan, $b=a$ olur.
Ancak, bu eşitliğin simetrik özelliğidir. Dolayısıyla, eşitliğin simetrik özelliği, ikame ve dönüşlü özelliklerinden çıkarılabilir.
Örnek 4
Eşitliğin toplama özelliğine göre, $a, b,$ ve $c$, $a=b$ olacak şekilde gerçek sayılar olsun. O zaman $a+c=b+c$ olur. Bu özelliğin eşdeğer bir formülasyonunu bulmak için eşitliğin simetrik özelliğini kullanın.
Çözüm
Eşitliğin simetrik özelliğinin, $a$ ve $b$ reel sayılarsa ve $a=b$ ise, $b=a$ olduğunu söylediğini hatırlayın.
Eşitliğin toplama özelliğinin son kısmı $a+c=b+c$ olduğunu belirtir. Eşitliğin simetrik özelliğinin denklemin sol ve sağ taraflarını değiştirmeye izin verdiğini hatırlayın. Dolayısıyla, eğer $a+c=b+c$ ise, o zaman $b+c=a+c$ olur.
Dolayısıyla, başka bir ifade ile $a, b,$ ve $c$, $a=b$ olacak şekilde gerçek sayılar olsun. Sonra $b+c=a+c$ olsun.
Örnek 5
x$ öyle bir reel sayı olsun ki $7=x$ olsun. Eşitliğin simetrik ve yerine koyma özelliklerini kullanarak $35=5x$ olduğunu kanıtlayınız.
Çözüm
7=x$ olarak verilmiştir. Eşitliğin yer değiştirme özelliğine göre, $7$ herhangi bir denklemde $x$ yerine geçebilir.
Ancak, eşitliğin simetrik özelliğine göre, eğer $7=x$ ise, o zaman $x=7$’dir. Bu gerçeği ikame özelliği ile birleştirmek, $x$’in herhangi bir denklemde $7$’nin yerini alabileceği anlamına gelir.
5\times7=35$ olduğu bilinmektedir. Simetrik olarak, $35=5\kez7$’dir. Herhangi bir denklemde $x$, $7$ yerine geçebileceğinden, $35$ aynı zamanda $5\times x$’e eşittir.
Böylece, gerektiği gibi $35=5x$ olur.