Matematikte Eşitsizlik Nedir?
Eşitsizlik kelimesi, tarafların birbirine eşit olmadığı matematiksel bir ifade anlamına gelir. Temel olarak, bir eşitsizlik herhangi iki değeri karşılaştırır ve bir değerin denklemin diğer tarafındaki değerden küçük, büyük veya eşit olduğunu gösterir.
Temel olarak, eşitsizlik denklemlerini temsil etmek için kullanılan beş eşitsizlik sembolü vardır.
Eşitsizlik Sembolleri
Bu eşitsizlik sembolleri şunlardır: less than (<), daha büyük (>), daha az veya eşit (≤), daha büyük veya eşit (≥) ve eşit değil sembolü (≠).
Eşitsizlikler, sayıları karşılaştırmak ve belirli bir değişkenin koşullarını karşılayan değer aralığını veya aralıklarını belirlemek için kullanılır.
Eşitsizlikler Üzerinde İşlemler
Doğrusal eşitsizlikler üzerindeki işlemler toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerini içerir. Bu işlemler için genel kurallar aşağıda gösterilmiştir.
Örnekleme için < sembolünü kullanmış olsak da, aynı kuralların >, ≤ ve ≥ için de geçerli olduğunu unutmamalısınız.
- Eşitsizliğin her iki tarafına aynı sayı eklendiğinde eşitsizlik sembolü değişmez. Örneğin, eğer a< b ise, o zaman a + c < b +
- Eşitsizliğin her iki tarafının aynı sayı ile çıkarılması eşitsizlik işaretini değiştirmez. Örneğin, eğer a< b ise, o zaman a – c < b – c olur.
- Bir eşitsizliğin her iki tarafını pozitif bir sayı ile çarpmak eşitsizlik işaretini değiştirmez. Örneğin, eğer a< b ve c pozitif bir sayı ise, o zaman a * c < b *
- Bir eşitsizliğin her iki tarafını pozitif bir sayıya bölmek eşitsizlik işaretini değiştirmez. Eğer a< b ve eğer c pozitif bir sayı ise, o zaman a/c < b/c
- Bir eşitsizlik denkleminin her iki tarafını negatif bir sayı ile çarpmak eşitsizlik sembolünün yönünü değiştirir. Örneğin, a < b ve c negatif bir sayı olmak üzere, a * c > b *
- Benzer şekilde, bir eşitsizlik denkleminin her iki tarafını negatif bir sayıya bölmek eşitsizlik sembolünü değiştirir. Eğer a < b ve eğer c negatif bir sayı ise, o zaman a /c > b/c
Eşitsizlikler Nasıl Çözülür?
Doğrusal denklemler gibi eşitsizlikler de birkaç istisna dışında benzer kurallar ve adımlar uygulanarak çözülebilir. Doğrusal denklemleri çözerken tek fark, negatif bir sayı ile çarpma veya bölme işlemini içeren bir işlemdir. Bir eşitsizliğin negatif bir sayı ile çarpılması veya bölünmesi eşitsizlik sembolünü değiştirir.
Doğrusal eşitsizlikler aşağıdaki işlemler kullanılarak çözülebilir:
- İlave
- Çıkarma
- Çarpma İşlemi
- Bölüm
- Mülkiyet dağılımı
Toplama ile doğrusal eşitsizlikleri çözme
Bu kavramı anlamak için aşağıda birkaç örnek görelim.
Örnek 1
3x – 5 ≤ 3 – x’i çözün.
Çözüm
Eşitsizliğin her iki tarafını 5 ile toplayarak başlıyoruz
3x – 5 + 5 ≤ 3 + 5 – x
3x ≤ 8 – x
Sonra her iki tarafı x ile toplayın.
3x + x ≤ 8 – x + x
4x ≤ 8
Son olarak, elde etmek için eşitsizliğin her iki tarafını da 4’e bölün;
x ≤ 2
Örnek 2
Y – 4 < 2y + 5 eşitsizliğini sağlayan y değer aralığını hesaplayınız.
Çözüm
Eşitsizliğin her iki tarafını 4 ile toplayın.
y – 4 + 4 < 2y + 5 + 4
y < 2y + 9
Her iki tarafı da 2y ile çıkarın.
y – 2y < 2y – 2y + 9
Y < 9 Eşitsizliğin her iki tarafını -1 ile çarpın ve eşitsizlik sembolünün yönünü değiştirin. y > – 9
Çıkarma işlemiyle doğrusal eşitsizlikleri çözme
Bu kavramı anlamak için aşağıda birkaç örnek görelim.
Örnek 3
x + 8 > 5’i çözün.
Çözüm
Eşitsizliğin her iki tarafından 8 çıkararak x değişkenini izole edin.
x + 8 – 8 > 5 – 8 => x > -3
Bu nedenle, x > -3.
Örnek 4
5x + 10 > 3x + 24’ü çözün.
Çözüm
Eşitsizliğin her iki tarafından 10 çıkarın.
5x + 10 – 10 > 3x + 24 – 10
5x > 3x + 14.
Şimdi eşitsizliğin her iki tarafını da 3x ile çıkarıyoruz.
5x – 3x > 3x – 3x + 14
2x > 14
x > 7
Doğrusal eşitsizlikleri çarpma ile çözme
Bu kavramı anlamak için aşağıda birkaç örnek görelim.
Örnek 5
x/4 > 5’i çözün
Çözüm:
Bir eşitsizliğin her iki tarafını kesrin paydası ile çarpın
4(x/4) > 5 x 4
x > 20
Örnek 6
Çöz -x/4 ≥ 10
Çözüm:
Bir eşitsizliğin her iki tarafını 4 ile çarpın.
4(-x/4) ≥ 10 x 4
-x ≥ 40
Eşitsizliğin her iki tarafını -1 ile çarpın ve eşitsizlik sembolünün yönünü tersine çevirin.
x ≤ – 40
Bölme işlemi ile doğrusal eşitsizlikleri çözme
Bu kavramı anlamak için aşağıda birkaç örnek görelim.
Örnek 7
Eşitsizliği çözün: 8x – 2 > 0.
Çözüm
Öncelikle eşitsizliğin her iki tarafını 2 ile toplayın
8x – 2 + 2 > 0 + 2
8x > 2
Şimdi, eşitsizliğin her iki tarafını da 8’e bölerek çözün;
x > 2/8
x > 1/4
Örnek 8
Aşağıdaki eşitsizliği çözünüz:
-5x > 100
Çözüm
Eşitsizliğin her iki tarafını da -5’e bölün ve eşitsizlik sembolünün yönünü değiştirin
= -5x/-5 < 100/-5
= x < – 20
Dağılım özelliğini kullanarak doğrusal eşitsizlikleri çözme
Bu kavramı anlamak için aşağıda birkaç örnek görelim.
Örnek 9
Çözün: 2 (x – 4) ≥ 3x – 5
Çözüm
2 (x – 4) ≥ 3x – 5
Parantezleri kaldırmak için dağıtım özelliğini uygulayın.
⟹ 2x – 8 ≥ 3x – 5
Her iki tarafı 8 ile toplayın.
⟹ 2x – 8 + 8 ≥ 3x – 5 + 8
⟹ 2x ≥ 3x + 3
Her iki tarafı da 3 ile çıkarın.
⟹ 2x – 3x ≥ 3x + 3 – 3x
⟹ -x ≥ 3
⟹ x ≤ – 3
Örnek 10
Bir öğrenci final sınavının ilk testinden 60, ikinci testinden ise 45 puan almıştır. Öğrenci üçüncü testte en az kaç puan almalı ve ortalaması en az 62 puan olmalıdır?
Çözüm
Üçüncü testte alınan puanlar x puan olsun.
(60 + 45 + x)/3 ≥ 62
105 + x ≥ 196
x ≥ 93
Dolayısıyla, öğrencinin en az 62 not ortalamasını tutturabilmesi için 93 not alması gerekmektedir.
Örnek 11
Justin’in doğum günü partisini düzenlemek için en az 500 dolara ihtiyacı var. Halihazırda 150 $ biriktirmişse ve bu tarihe 7 ay kalmışsa. Aylık olarak biriktirmesi gereken minimum miktar nedir?
Çözüm
Aylık tasarruf edilen minimum miktar = x olsun
150 + 7x ≥ 500
x için çözün
150 – 150 + 7x ≥ 500 – 150
x ≥ 50
Bu nedenle, Justin 50 $ veya daha fazla tasarruf etmelidir
Örnek 12
Toplamı 10’dan büyük ve 40’tan küçük olan ardışık iki tek sayı bulunuz.
Çözüm
Küçük tek sayı = x olsun
Bu nedenle, bir sonraki sayı x + 2 olacaktır
x > 10 ………. 10’dan büyük
x + (x + 2) < 40 ……toplamı daha az 40
Denklemleri çözün.
2x + 2 < 40
x + 1< 20
x < 19
İki ifadeyi birleştirin.
10 < x < 19
Dolayısıyla, ardışık tek sayılar 11 ve 13, 13 ve 15, 15 ve 17, 17 ve 19’dur.
Eşitsizlikler ve Sayı Doğrusu
Sayıları temsil etmek ve görselleştirmek için en iyi araç sayı doğrusudur. Sayı doğrusu, eşit bölümlere veya aralıklara yerleştirilmiş sayıların bulunduğu düz yatay bir çizgi olarak tanımlanır. Sayı doğrusunun ortasında orijin olarak bilinen nötr bir nokta vardır. Sayı doğrusunda orijinin sağ tarafında pozitif sayılar, sol tarafında ise negatif sayılar yer alır.
Doğrusal denklemler sayı doğrusu kullanılarak grafiksel bir yöntemle de çözülebilir. Örneğin, x > 1’i bir sayı doğrusu üzerinde çizmek için, sayı doğrusu üzerinde 1 sayısını daire içine alır ve daireden eşitsizlik ifadesini karşılayan sayılar yönünde giden bir doğru çizersiniz.
Örnek 13
Eşitsizlik sembolü büyük veya eşit veya küçük veya eşit işareti (≥ veya ≤) ise, sayının üzerine daire çizin ve daireyi doldurun veya gölgelendirin. Son olarak, gölgeli daireden sayıların yönüne doğru giden ve eşitsizlik denklemini karşılayan bir çizgi çizin.
Örnek 14
x ≥ 1
Aynı prosedür, aralıkları içeren denklemleri çözmek için de kullanılır.
Örnek 15
-2 < x < 2
Örnek 16
-1 ≤ x ≤ 2
Örnek 17
-1 < x ≤ 2
