Bir polinom, bir toplama veya çıkarma işaretinin bir sabit ve bir değişkeni ayırdığı bir veya daha fazla terimli cebirsel bir ifadedir.
Bir polinomun genel biçimi axn + bxn-1 + cxn-2 + …. + kx + l, burada her değişkene katsayı olarak eşlik eden bir sabit vardır.
Artık polinomların kalanını gerçek bölme işlemi yapmadan bulmak için Kalan Teoremini nasıl kullanacağınızı anladığınıza göre, bu makalede bakılacak bir sonraki teorem Faktör Teoremi.
Biz çalışacağız Çarpan Teoremi’nin Kalan Teoremi ile nasıl ilişkili olduğu ve teoremin çarpanlara ayırmak ve bir polinom denkleminin köklerini bulmak için nasıl kullanılacağı. Ancak, bu konuya geçmeden önce, çarpanların ne olduğunu tekrar gözden geçirelim.
A faktörüdür Matematikte kalansız bir tam sayı elde etmek için başka bir sayı veya ifadeyi bölen bir sayı veya ifade. Başka bir deyişle, bir çarpan başka bir sayıyı veya ifadeyi kalan olarak sıfır bırakarak böler.
Örneğin, 5 30’un bir çarpanıdır çünkü 30 5’e bölündüğünde bölüm 6’dır, bu da bir tam sayıdır ve kalan sıfırdır. 30’un 4’e bölünerek 7,5 elde edildiği başka bir durumu düşünün. Bu durumda 4, 30’un bir çarpanı değildir çünkü 30 4’e bölündüğünde tam sayı olmayan bir sayı elde ederiz. 7,5, 7 ve 0,5 kalan demekle aynı şeydir.
Faktör Teoremi nedir?
Derecesi n ≥ 1 olan bir f (x) polinomu düşünün. Eğer ‘a’ terimi herhangi bir reel sayı ise, o zaman şunu söyleyebiliriz;
(x – a), eğer f (a) = 0 ise, f (x)’in bir çarpanıdır.
Faktör Teoreminin Kanıtı
f (x)’in (x – c) ile bölünen bir polinom olduğu göz önüne alındığında, eğer f (c) = 0 ise,
⟹ f(x) = (x – c) q(x) + f(c)
⟹ f(x) = (x – c) q(x) + 0
⟹ f(x) = (x – c) q(x)
Dolayısıyla, (x – c), f (x) polinomunun bir çarpanıdır.
Dolayısıyla, Faktör Teoremi, bir polinomun aşağıdaki özelliklere sahip olduğunu ifade eden Kalan Teoremi’nin özel bir durumudur f (x) bir faktöre sahiptir x – aancak ve ancak, a bir köktür, yani, f (a) = 0.
Faktör Teoremi nasıl kullanılır?
Faktör Teoreminin nasıl kullanılacağını öğrenmek için aşağıda birkaç örnek görelim.
Örnek 1
f(x)= x polinomunun köklerini bulunuz.2 + 2x – 15
Çözüm
f(x) = 0
x2 + 2x – 15 = 0
(x + 5) (x – 3) = 0
(x + 5) = 0 veya (x – 3) = 0
x = -5 veya x = 3
(x – 3) ve (x + 5)’in x polinomunun çarpanları olup olmadığını kontrol edebiliriz2 + 2x – 15, Faktör Teoremini aşağıdaki gibi uygulayarak:
Eğer x = 3 ise
Polinom denkleminde/ yerine x = 3 yazın.
f (x)= x2 + 2x – 15
⟹ 32 + 2(3) – 15
⟹ 9 + 6 – 15
⟹ 15 – 15
f (3) = 0
Ve eğer x = -5 ise
x değerlerini f(x)= x denkleminde yerine koyun2 + 2x – 15
⟹ (-5)2 + 2(-5) – 15
⟹ 25 – 10 – 15
⟹ 25 – 25
f (-5) = 0
Her iki durumda da kalanlar sıfır olduğundan, (x – 3) ve (x + 5) x polinomunun çarpanlarıdır.2 +2x -15
Örnek 2
2x polinomunun köklerini bulunuz.2 – 7x + 6 = 0.
Çözüm
Önce denklemi çarpanlarına ayırın.
2x2 – 7x + 6 = 0 ⟹ 2x2 – 4x – 3x + 6 = 0
⟹ 2x (x – 2) – 3(x – 2) = 0
⟹ (x – 2) (2x – 3) = 0
⟹ x – 2 = 0 veya 2x – 3 = 0
⟹ x = 2 veya x = 3/2
Dolayısıyla, kökler x = 2, 3/2’dir.
Örnek 3
x + 5’in 2x’in bir çarpanı olup olmadığını kontrol edin2 + 7x – 15.
Çözüm
x + 5= 0
x = -5
Şimdi x= -5 değerini polinom denkleminde yerine koyun.
f (-5) = 2 (-5)2 + 7(-5) – 15
= 50 – 35 – 15
= 0
Dolayısıyla, x + 5, 2x’in bir çarpanıdır2 + 7x – 15.
Örnek 4
x + 1’in 3x polinomunun bir çarpanı olup olmadığını belirleyin4 + x3 – x2 + 3x + 2
Çözüm
x + 1 verildi;
x + 1 = 0
x = -1
Denklemde x = -1 yerine koyun; 3x4 + x3 – x2 + 3x + 2.
⟹ 3(-1)4 + (-1)3 – (-1)2 +3(-1) + 2
= 3(1) + (-1) – 1 – 3 + 2 = 0
Bu nedenle, x + 1, 3x’in bir çarpanıdır4 + x3 – x2 + 3x + 2
Örnek 5
2x + 1’in 4x polinomunun bir çarpanı olup olmadığını kontrol edin3 + 4x2 – x – 1
Çözüm
⟹ 2x + 1 = 0
∴ x = -1/2
4x denkleminde x = -1/2 yerine koyun3 + 4x2 – x – 1.
⟹ 4( -1/2)3 + 4(-1/2)2 – (-1/2) – 1
= -1/2 + 1 + ½ – 1
= 0
Kalan = 0 olduğundan, 2x + 1, 4x’in bir çarpanıdır3 + 4x2 – x – 1
Örnek 6
x + 1’in x’in bir çarpanı olup olmadığını kontrol edin6 + 2x (x – 1) – 4
Çözüm
x + 1 = 0
x = -1
Şimdi x = -1’i x polinom denkleminde yerine koyun6 + 2x (x – 1) – 4
⟹ (-1)6 + 2(-1) (-2) -4 = 1
Bu nedenle, x + 1, x’in bir çarpanı değildir6 + 2x (x – 1) – 4