Fonksiyon Gösterimi – Açıklama ve Örnekler

Bu fonksiyon kavramı on yedinci yüzyılda Rene Descartes’ın kitabında matematiksel ilişkileri modellemek için bu fikri kullanmasıyla geliştirilmiştir Geometri. “Fonksiyon” terimi, elli yıl sonra Gottfried Wilhelm Leibniz tarafından Geometri.

Daha sonra Leonhard Euler, fonksiyon gösterimi kavramını ortaya attığında fonksiyonların kullanımını resmileştirmiştir; y = f (x). Bir Alman matematikçi olan Peter Dirichlet’in modern fonksiyon tanımını vermesi 1837 yılına kadar sürdü.

Fonksiyon nedir?

Matematikte bir fonksiyon, her durumda tek bir çıktısı olan bir dizi girdidir. Her fonksiyonun bir etki alanı ve aralığı vardır. Etki alanı, bir bağıntı ya da fonksiyon için tanımlanan x değişkeninin bağımsız değerlerinin kümesidir. Basit bir ifadeyle, etki alanı, fonksiyonda yerine konulduğunda y’nin gerçek değerlerini oluşturan x değerleri kümesidir.

Öte yandan, aralık, bir fonksiyonun üretebileceği tüm olası değerlerin bir kümesidir. Bir fonksiyonun aralığı aralık gösterimiyle veya eşitsizlikler bilgisiyle ifade edilebilir.

Fonksiyon Gösterimi Nedir?

Notasyon, ifadeler, sayılar, kelimeler vb. gibi unsurları gösteren semboller veya işaretler sistemi olarak tanımlanabilir.

Bu nedenle, fonksiyon gösterimi, bir fonksiyonun semboller ve işaretler kullanılarak gösterilebildiği bir yoldur. Fonksiyon gösterimi, uzun bir yazılı açıklama olmadan bir fonksiyonu tanımlamanın daha basit bir yöntemidir.

En sık kullanılan fonksiyon gösterimi, “x “in “f “si olarak okunan f(x)’tir. Bu durumda, parantez içine yerleştirilen x harfi ve f(x) sembolünün tamamı, sırasıyla etki alanı kümesini ve aralık kümesini temsil eder.

Fonksiyon gösterimini yazarken kullanılan en popüler harf f olmasına rağmen, alfabenin diğer harfleri de büyük ya da küçük harf olarak kullanılabilir.

Fonksiyon gösterimini kullanmanın avantajları

• Çoğu fonksiyon a, f, g, h, k vb. gibi çeşitli değişkenlerle temsil edildiğinden, hangi fonksiyonun değerlendirildiği konusunda karışıklığı önlemek için f(x) kullanırız.
• Fonksiyon gösterimi, bağımsız değişkenin kolaylıkla tanımlanmasını sağlar.
• Fonksiyon gösterimi aynı zamanda bir fonksiyonun incelenmesi gereken elemanını tanımlamamıza da yardımcı olur.

y = 3x + 7 doğrusal fonksiyonunu düşünün. Böyle bir fonksiyonu fonksiyon gösteriminde yazmak için, y değişkenini f(x) ifadesiyle değiştirerek elde ederiz;

f(x) = 3x + 7. Bu f(x) = 3x + 7 fonksiyonu, f’nin x’teki değeri veya x’in f’si olarak okunur.

İşlev türleri

Cebirde çeşitli fonksiyon türleri vardır.

En yaygın işlev türleri şunlardır:

Doğrusal bir fonksiyon birinci dereceden bir polinomdur. Doğrusal bir fonksiyon f(x) = ax + b genel formuna sahiptir, burada a ve b sayısal değerlerdir ve a ≠ 0’dır.

İkinci dereceden bir polinom fonksiyonu ikinci dereceden bir fonksiyon olarak bilinir. İkinci dereceden bir fonksiyonun genel formu f(x) = ax² + bx + c, burada a, b ve c tam sayılardır ve a ≠ 0’dır.

Bu, 3’ün bir polinom fonksiyonudur^rd f(x) = ax biçiminde olan derece³ + bx² + cx + d

Logaritmik bir fonksiyon, değişkenin bir logaritma argümanı olarak göründüğü bir denklemdir. Fonksiyonun geneli f(x)=log a (x) şeklindedir; burada a taban ve x argümandır

Üstel bir fonksiyon, değişkenin üs olarak göründüğü bir denklemdir. Üstel fonksiyon f(x) = a şeklinde gösterilir^x.

f(x) = sin x, f(x) = cos x vb. trigonometrik fonksiyonlara örnektir.

1. Kimlik Fonksiyonu:

Bir özdeşlik fonksiyonu f: A→ B ve f(x) = x, ∀ x ∈ A olacak şekildedir.

1. Rasyonel Fonksiyon:

R(x) = P(x)/Q(x) ise bir fonksiyonun rasyonel olduğu söylenir, burada Q(x) ≠ 0’dır.

Fonksiyonlar Nasıl Değerlendirilir?

Fonksiyon değerlendirme, bir fonksiyonun çıktı değerlerini belirleme işlemidir. Bu, giriş değerlerinin verilen fonksiyon gösteriminde yerine konulmasıyla yapılır.

Örnek 1

y = x yazın² + 4x + 1 fonksiyon gösterimini kullanarak x = 3’te fonksiyonu değerlendiriniz.

Çözüm

Verilen, y = x² + 4x + 1

Fonksiyon gösterimini uygulayarak şunu elde ederiz

f(x) = x² + 4x + 1

Değerlendirme:

x’i 3 ile değiştirin

f (3) = 3² + 4 × 3 + 1 = 9 + 12 + 1 = 22

Örnek 2

x = 4 olduğunda f(x) = 3(2x+1) fonksiyonunu değerlendiriniz.

Çözüm

x = 4 değerini f(x) fonksiyonuna yerleştirin.

f (4) = 3[2(4) + 1]

f (4) = 3[8 + 1]

f (4) = 3 x 9

f (4) = 27

Örnek 3

y = 2x fonksiyonunu yazınız² + 4x – 3’ü fonksiyon gösteriminde yazınız ve f (2a + 3)’ü bulunuz.

Çözüm

y = 2x² + 4x – 3 ⟹ f (x) = 2x² + 4x – 3

x yerine (2a + 3) yazın.

f (2a + 3) = 2(2a + 3)² + 4(2a + 3) – 3

= 2(4a² + 12a + 9) + 8a + 12 – 3
= 8a² + 24a + 18 + 8a + 12 – 3
= 8a² + 32a + 27

Örnek 4

y = x olarak gösterilir³ – 4x fonksiyon gösterimini kullanın ve x = 2’de y için çözün.

Çözüm

y = x fonksiyonu verildiğinde³ – 4x, elde etmek için y yerine f(x) yazın;

f(x) = x³ – 4x

Şimdi x = 2 olduğunda f(x)’i değerlendirin

⟹ f (2) = 2³ – 4 × 2 = 8 -8 = 0

Bu nedenle, x=2’de y’nin değeri 0’dır

Örnek 5

f(x) = x² + 3x + 5 olduğuna göre f (k + 2)’yi bulunuz.

Çözüm

f (k + 2)’yi değerlendirmek için, fonksiyondaki x yerine (k + 2) yazın.

⟹ f (k + 2) = (k + 2) ² + 3(k + 2) + 5

⟹ k² + 2² + 2k (2) + 3k + 6 + 5

⟹ k² + 4 + 4k + 3k + 6 + 5

= k² + 7k + 15

Örnek 6

Fonksiyon gösterimi göz önüne alındığında f (x) = x² – x – 4. f (x) = 8 olduğunda x’in değerini bulun

Çözüm

f (x) = x² – x – 4

f(x) yerine 8 yazınız.

8 = x² – x – 4

x² – x – 12 = 0

Elde etmek için ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırarak çözün;

⟹ (x – 4) (x + 3) = 0

⟹ x – 4 = 0; x + 3 = 0

Bu nedenle, f (x) = 8 olduğunda x’in değerleri şunlardır;

x = 4; x = -3

Örnek 7

g(x) = x fonksiyonunu değerlendirin² x = -3’te + 2

Çözüm

x’i -3 ile değiştirin.

g (-3) = (-3)² + 2 = 9 + 2 = 11

Fonksiyon gösterimine ilişkin gerçek hayattan örnekler

Fonksiyon gösterimi, aşağıdaki örneklerde gösterildiği gibi matematiksel problemleri değerlendirmek için gerçek hayatta uygulanabilir:

Örnek 8

Bir şirket belirli bir ürünü üretmek için hammaddeye x dolar ve işçiliğe y dolar harcamaktadır. Eğer üretim maliyeti f (x, y) = 36000 + 40x + 30y + xy/100 fonksiyonu ile tanımlanıyorsa. Firma hammadde ve işçilik için sırasıyla 10.000 ve 1.000 dolar harcadığında üretim maliyetini hesaplayınız.

Çözüm

x = 10.000 $ ve y = 1.000 $ olarak verildiğinde

Üretim maliyeti fonksiyonunda x ve y değerlerini yerine koyun

⟹f (10000, 1000) = 36000 + 40(10000) + 30(1000) + (10000) (1000)/100.

⟹ f (10000, 1000) = 36000 + 4000000 + 30000 + 100000

⟹ $4136000.

Örnek 9

Mary yaklaşan doğum günü partisi için haftalık 100$ biriktiriyor. Eğer halihazırda 1000$’ı varsa, 22 hafta sonra ne kadar parası olacaktır?

Çözüm

x = hafta sayısı ve f(x) = toplam tutar olsun. Bu problemi fonksiyon gösteriminde şu şekilde yazabiliriz;

f(x)=100x + 1000
Şimdi x =22 olduğunda fonksiyonu değerlendirin
f (22) =100(22) +1000
f (22) =3200

Dolayısıyla toplam tutar 3200 $’dır.

Örnek 10

A ve B mobil şebekelerinin konuşma süresi ücretleri sırasıyla 34$ artı 0.05/dk ve 40$ artı 0.04/dk’dır.

1. Bu problemi fonksiyon gösteriminde temsil edin.
2. Her ay kullanılan ortalama dakika sayısının 1.160 olduğu düşünüldüğünde hangi mobil şebeke ekonomiktir?
3. İki şebekenin aylık faturası ne zaman eşit olur?

Çözüm

1. Her bir ağda kullanılan dakika sayısı x olsun.

Dolayısıyla, A ağının fonksiyonu f(x) = 0,05x + 34 ve B ağının fonksiyonu f(x) = 0,04x+$40’tır.

1. Hangi ağın uygun olduğunu belirlemek için her bir fonksiyonda x = 1160 yerine koyun

A ⟹ f (1160) =0,05(1160) + 34

=58 + 34= $ 92

B ⟹ f (1160) = 0,04(1160) + 40

=46.4+40

= $ 86.4

Bu nedenle, B ağı ekonomiktir çünkü toplam konuşma süresi maliyeti A’nınkinden daha azdır.

1. İki fonksiyonu eşitleyin ve x’i çözün

⟹ 0,05x +34 = 0,04x + 40

⟹ 0.01x = 6

x = 600

Ortalama dakika sayısı 600 olduğunda A ve B’nin aylık faturası eşit olacaktır.

Kanıt:

A ⟹ 0.05(600) +34 = $64

B ⟹ 0.04(600) + 40 = $64

Örnek 11

Belirli bir sayı öyle bir sayıdır ki, 142’ye eklendiğinde, sonuç orijinal sayının üç katından 64 fazladır. Sayıyı bulun.

Çözüm

x = orijinal sayı ve f(x) 142 eklendikten sonra ortaya çıkan sayı olsun.

f(x) = 142 + x = 3x + 64

2x = 78

x = 39

Örnek 12

Ardışık iki pozitif tamsayının çarpımı 1122 ise, iki tamsayıyı bulunuz.

Çözüm

x ilk tam sayı olsun;

ikinci tamsayı = x + 1

Şimdi fonksiyonu şu şekilde oluşturun;

f(x) = x (x + 1)

f(x) = 1122 ise x değerini bulunuz

f(x) fonksiyonunu 1122 ile değiştirin

1122 = x (x + 1)

1122 = x² + 1

x² = 1121

Fonksiyonun her iki tarafının karesini bulun

x = 33

x + 1 = 34

Tam sayılar 33 ve 34’tür.