Fonksiyonlar Üzerinde Aritmetik İşlemler – Açıklama ve Örnekler

Tamsayılar ve polinomlarla dört temel aritmetik işlemi, yani toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerini yapmaya alışkınız.

Polinomlar ve tam sayılar gibi fonksiyonlar da aynı kurallar ve adımlar izlenerek toplanabilir, çıkarılabilir, çarpılabilir ve bölünebilir. Fonksiyon gösterimi ilk başta farklı görünse de, yine de doğru cevaba ulaşacaksınız.

Bu makalede şunları öğreneceğiz iki veya daha fazla fonksiyonun nasıl toplanacağı, çıkarılacağı, çarpılacağı ve bölüneceği.

Başlamadan önce, aşağıdaki kavramları ve aritmetik işlem kurallarını öğrenelim:

• İlişkisel özellik: Bu, miktarların gruplandırılmasından bağımsız olarak benzer sonuçlar veren bir aritmetik işlemdir.
• Değişmeli özellik: Bu, işlenenlerin sırasının tersine çevrilmesinin nihai sonucu değiştirmediği ikili bir işlemdir.
• Ürün: İki veya daha fazla miktarın çarpımı, miktarların çarpımının sonucudur.
• Bölüm: Bu, bir miktarın diğerine bölünmesinin sonucudur.
• Toplam: Toplam, iki veya daha fazla miktarın bir araya getirilmesinin toplamı veya sonucudur.
• Fark: Fark, bir miktarın diğerinden çıkarılmasının sonucudur.
• İki negatif sayının toplanması negatif bir sayı verir; pozitif ve negatif bir sayı, daha büyük olan sayıya benzer bir sayı verir.
• Pozitif bir sayının çıkarılması, eşit büyüklükteki negatif bir sayının eklenmesiyle aynı sonucu verirken, negatif bir sayının çıkarılması pozitif bir sayının eklenmesiyle aynı sonucu verir.
• Negatif ve pozitif bir sayının çarpımı negatiftir ve negatif sayılar pozitiftir.
• Bir pozitif ve bir negatifin bölümü negatiftir ve iki negatif sayının bölümü pozitiftir.

Fonksiyonlar Nasıl Eklenir?

Fonksiyonları toplamak için, benzer terimleri toplar ve bunları bir araya getiririz. Değişkenler, katsayılarının toplamı alınarak toplanır.

Fonksiyon eklemenin iki yöntemi vardır. Bunlar

Bu yöntemi kullanarak fonksiyonları eklemek için, eklenen fonksiyonları yatay bir çizgi halinde düzenleyin ve benzer terimlerin tüm gruplarını toplayın, ardından ekleyin.

Örnek 1

f(x) = x + 2 ve g(x) = 5x – 6 değerlerini toplayın

Çözüm

(f + g) (x) = f(x) + g(x)
= (x + 2) + (5x – 6)
= 6x – 4

Örnek 2

Aşağıdaki fonksiyonları ekleyin: f(x) = 3x² – 4x + 8 ve g(x) = 5x + 6

Çözüm

⟹ (f + g) (x) = (3x² – 4x + 8) + (5x + 6)

Benzer terimleri toplayın

= 3x² + (- 4x + 5x) + (8 + 6)

= 3x² + x + 14

• Dikey veya sütun yöntemi

Bu yöntemde, fonksiyonların elemanları sütunlar halinde düzenlenir ve daha sonra toplanır.

Örnek 3

Aşağıdaki fonksiyonları toplayın: f(x) = 5x² + 7x – 6, g(x) =3x²+ 4x ve h(x) = 9x²- 9x + 2

Çözüm

5x² + 7x – 6
+ 3x² + 4x
+ 9x² – 9x + 2
16x² + 2x – 4

Bu nedenle, (f + g + h) (x) = 16x² + 2x – 4

Fonksiyonlar Nasıl Çıkarılır?

Fonksiyonları çıkarmak için aşağıdaki adımları izleyin:

• Çıkarma veya ikinci fonksiyonu parantez içine alın ve parantezin önüne eksi işareti koyun.
• Şimdi, operatörleri değiştirerek parantezleri kaldırın: -‘yi + olarak değiştirin veya tam tersini yapın.
• Benzer terimleri toplayın ve ekleyin.

Örnek 4

g(x) = 5x – 6 fonksiyonunu f(x) = x + 2’den çıkarın

Çözüm

(f – g) (x) = f(x) – g(x)

İkinci fonksiyonu parantez içine yerleştirin.
= x + 2 – (5x – 6)

Parantez içindeki işareti değiştirerek parantezleri kaldırın.

= x + 2 – 5x + 6

Benzer terimleri birleştirin

= x – 5x + 2 + 6

= -4x + 8

Örnek 5

f(x) = 3x² – 6x – 4 değerini g(x) = – 2x² + x + 5 değerinden çıkarın

Çözüm

(g -f) (x) = g(x) -f(x) = – 2x² + x + 5 – (3x² – 6x – 4)

Parantezleri kaldırın ve operatörleri değiştirin

= – 2x² + x + 5 – 3x² + 6x + 4

Benzer terimleri toplayın

= -2x² – 3x² + x + 6x + 5 + 4

= -5x² + 7x + 9

Fonksiyonlar Nasıl Çarpılır?

İki veya daha fazla fonksiyon arasındaki değişkenleri çarpmak için, katsayılarını çarpın ve ardından değişkenlerin üslerini toplayın.

Örnek 6

f(x) = 2x + 1 ile g(x)= 3x çarpımı² – x + 4

Çözüm

Dağılım özelliğini uygulayın

⟹ (f *g) (x) = f(x) * g(x) = 2x (3x² – x + 4) + 1(3x² – x + 4)
⟹ (6x³ – 2x² + 8x) + (3x² – x + 4)

Benzer terimleri birleştirin ve ekleyin.

⟹ 6x³ + (-2x² + 3x²) + (8x – x) + 4

= 6x³ + x² + 7x + 4

Örnek 7

f(x) = x + 2 ve g(x) = 5x – 6 değerlerini toplayın

Çözüm

⟹ (f * g) (x) = f(x) * g(x)
= (x + 2) (5x – 6)
= 5x² + 4x – 12

Örnek 8

f(x) = x – 3 ve g(x) = 2x – 9 çarpımını bulunuz.

Çözüm

FOIL yöntemini uygulayın

(f * g) (x) = f(x) * g(x) = (x – 3) (2x – 9)

İlk terimlerin çarpımı.

= (x) * (2x) = 2x ²

En dıştaki terimlerin çarpımı.

= (x) * (-9) = -9x

İç terimlerin çarpımı.

= (-3) * (2x) = -6x

Son terimlerin çarpımı

= (-3) * (-9) = 27

Kısmi çarpımları toplayın

= 2x ² – 9x – 6x + 27

= 2x ² – 15x +27

Fonksiyonlar Nasıl Bölünür?

Tıpkı polinomlar gibi, fonksiyonlar da sentetik veya uzun bölme yöntemleri kullanılarak bölünebilir.

Örnek 9

f(x) = 6x fonksiyonlarını bölün⁵ + 18x⁴ – 3x² g(x) = 3x ile²

Çözüm

⟹ (f ÷ g) (x) = f(x) ÷ g(x) = (6x⁵ + 18x⁴ – 3x²) ÷ (3x²)

⟹ 6x⁵/ 3x² + 18x⁴/3x² – 3x²/3x²
= 2x³ + 6x² – 1.

Örnek 10

f(x) = x fonksiyonlarını bölün³ + 5x² g(x) = x – 2 ile -2x – 24

Çözüm

Sentetik bölüm:

(f ÷ g) (x) = f(x) ÷ g(x) = (x³ + 5x² -2x – 24) ÷ (x – 2)

• İkinci fonksiyondaki sabitin işaretini -2’den 2’ye değiştirin ve aşağı indirin.

_____________________
x – 2 | x ³ + 5x² – 2x – 24

2 | 1 5 -2 -24

• Ayrıca, baştaki katsayıyı aşağı çekin. Bu, bölümün ilk sayısının 1 olması anlamına gelir.

2 | 1 5 -2 -24
________________________
1

• 2 ile 1’i çarpın ve çarpıma 5 ekleyerek 7’yi elde edin. Şimdi 7’yi aşağı indirin.

2 | 1 5 -2 -24
2
________________________
1 7

• 2 ile 7’yi çarpın ve 12’yi elde etmek için çarpıma – 2 ekleyin. 12’yi aşağı indirin

2 | 1 5 -2 -24
2 14
__________________________
1 7 12

• Son olarak, 2 ile 12’yi çarpın ve 0’ı elde etmek için sonuca -24 ekleyin.

2 | 1 5 -2 -24
2 14 24
__________________________
1 7 12 0

Dolayısıyla, f(x) ÷ g(x) = x² + 7x + 12