Artık polinomları En Büyük Ortak Faktör (GCF), İki küpün toplamı veya farkı; İki karenin farkı yöntemi ve Trinom yöntemi gibi farklı yöntemler kullanarak nasıl çarpanlara ayıracağınızı öğrendiniz.
Bunlar arasında en basit bulduğunuz yöntem hangisi?
Tüm bu polinomları çarpanlarına ayırma yöntemleri, yalnızca doğru uygulandıkları takdirde ABC kadar kolaydır.
Bu makalede, Gruplayarak Çarpanlara Ayırma olarak bilinen bir başka basit yöntemi öğreneceğiz, ancak gruplayarak çarpanlara ayırma konusuna girmeden önce, bir polinomu çarpanlara ayırmanın ne olduğunu tartışalım.
Bir polinom, bir toplama veya çıkarma işaretinin bir sabit ve bir değişkeni ayırdığı bir veya daha fazla terimli cebirsel bir ifadedir.
Bir polinomun genel biçimi axn + bxn-1 + cxn-2 + …. + kx + l, burada her değişkene katsayı olarak eşlik eden bir sabit vardır. Farklı polinom türleri arasında; binomlar, trinomlar ve kuadrinomlar bulunur.
Polinomlara örnek olarak; 12x + 15, 6x2 + 3xy – 2ax – ay, 6x2 + 3x + 20x + 10 vb.
Gruplama ile Faktörleme Nasıl Yapılır?
Gruplandırmaya Göre Faktör terimler arasında ortak faktör olmadığında kullanışlıdır ve ifadeyi iki çifte böler ve her birini ayrı ayrı faktörlersiniz.
Polinomların çarpanlarına ayrılması çarpmanın ters işlemidir çünkü iki veya daha fazla faktörün polinom çarpımını ifade eder. Bir ifadenin köklerini veya çözümlerini bulmak için polinomları çarpanlarına ayırabilirsiniz.
Üç terimli sayılar gruplanarak nasıl çarpanlara ayrılır?
ax biçimindeki bir trinomu çarpanlarına ayırmak için2 + bx + c’yi gruplayarak, prosedürü aşağıda gösterildiği gibi gerçekleştiriyoruz:
- “a” öncü katsayısı ile “c” sabitinin çarpımını bulunuz.
⟹ a * c = ac
- “b” katsayısına eklenen “ac” faktörlerini arayın.
- bx’i, ac’nin b’ye eklenen çarpanlarının toplamı veya farkı olarak yeniden yazın.
⟹ ax2 + bx + c = ax2 + (a + c) x + c
⟹ ax2 + ax + cx + c
⟹ ax (x + 1) + c (x + 1)
⟹ (ax + c) (x + 1)
Örnek 1
Faktör x2 – 15x + 50
Çözüm
Toplamı -15 ve çarpımı 50 olan iki sayıyı bulunuz.
⟹ (-5) + (-10) = -15
⟹ (-5) x (-10) = 50
Verilen polinomu şu şekilde yeniden yazın;
x2-15x + 50⟹ x2-5x – 10x + 50
Her bir grup kümesini çarpanlarına ayırın;
⟹ x(x – 5) – 10(x – 5)
⟹ (x – 5) (x – 10)
Örnek 2
6y trinomunu çarpanlarına ayırın2 + 11y + 4 gruplayarak.
Çözüm
6y2 + 11y + 4 ⟹ 6y2 + 3y + y + 4
⟹ (6y2 + 3y) + (8y + 4)
⟹ 3y (2y + 1) + 4(2y + 1)
= (2y + 1) (3y + 4)
Örnek 3
Faktör 2x2 – 5x – 12.
Çözüm
2x2 – 5x – 12
= 2x2 + 3x – 8x – 12
= x (2x + 3) – 4(2x + 3)
= (2x + 3) (x – 4)
Örnek 4
Faktör 3y2 + 14y + 8
Çözüm
3y2 + 14y + 8 ⟹ 3y2 + 12y + 2y + 8
⟹ (3y2 + 12y) + (2y + 8)
= 3y (y + 4) + 2(y + 4)
Bu yüzden,
3y2 + 14y + 8 = (y + 4) (3y + 2)
Örnek 5
Faktör 6x2– 26x + 28
Çözüm
Baştaki katsayıyı son terimle çarpın.
⟹ 6 * 28 = 168
Çarpımları toplamı 168 ve toplamları -26 olan iki sayı bulunuz.
⟹ -14 + -12 = -26 ve -14 * -12 = 168
İfadeyi bx yerine iki sayı koyarak yazınız.
⟹ 6x2– 26x + 28 = 6x2 + -14x + -12x + 28
6x2 + -14x + -12x + 28 = (6x2 + -14x) + (-12x + 28)
= 2x (3x + -7) + -4(3x + -7)
Bu nedenle, 6x2– 26x + 28 = (3x -7) (2x – 4)
Binomları gruplayarak nasıl çarpanlarına ayırabilirim?
Bir binom, toplama veya çıkarma işaretiyle birleştirilmiş iki terimli bir ifadedir. Bir binomu çarpanlarına ayırmak için aşağıdaki dört kural uygulanır:
- ab + ac = a (b + c)
- a2– b2 = (a – b) (a + b)
- a3– b3 = (a – b) (a2 +ab + b2)
- a3+ b3 = (a + b) (a2 – ab + b2)
Örnek 6
Faktör xyz – x2z
Çözüm
xyz – x2z = xz (y – x)
Örnek 7
Faktör 6a2b + 4bc
Çözüm
6a2b + 4bc = 2b (3a2 + 2c)
Örnek 8
Tamamen faktör: x6 – 64
Çözüm
x6 – 64 = (x3)2 – 82
= (x3 + 8) (x3 – 8) = (x+2) (x2 – 2x + 4) (x – 2) (x2 + 2x + 4)
Örnek 9
Faktör: x6 – y6.
Çözüm
x6 – y6 = (x + y) (x2 – xy + y2) (x – y) (x2 + xy + y2)
Polinomlar gruplanarak nasıl çarpanlara ayrılır?
Adından da anlaşılacağı üzere, gruplama yoluyla çarpanlara ayırma, basitçe çarpanlara ayırmadan önce terimleri ortak faktörlerle gruplama işlemidir.
Bir polinomu gruplayarak çarpanlarına ayırmak için aşağıdaki adımları izleyin:
- Polinomun terimlerinin En Büyük Ortak Faktöre (GCF) sahip olup olmadığını kontrol edin. Eğer varsa, çarpanlarına ayırın ve nihai cevabınıza dahil etmeyi unutmayın.
- Polinomu ikişerli kümelere ayırın.
- Her kümenin GCF’sini çarpanlarına ayırın.
- Son olarak, kalan ifadelerin daha fazla çarpanlara ayrılıp ayrılamayacağını belirleyin.
Örnek 10
2ax + ay + 2bx + by çarpanlarına ayırma
Çözüm
2ax + ay + 2bx + by
= a (2x + y) + b (2x + y)
= (2x + y) (a + b)
Örnek 11
Faktör ekseni2 – bx2 + ay2 – tarafından2 + az2 – bz2
Çözüm
balta2 – bx2 + ay2 – tarafından2 + az2 – bz2
= x2(a – b) + y2(a – b) + z2(a – b)
= (a – b) (x2 + y2 + z2)
Örnek 12
Faktör 6x2 + 3xy – 2ax – ay
Çözüm
6x2 + 3xy – 2ax – ay
= 3x (2x + y) – a (2x + y)
= (2x + y) (3x – a)
Örnek 13
x3 + 3x2 + x + 3
Çözüm
x3 + 3x2 + x + 3
= (x3 + 3x2) + (x + 3)
= x2(x + 3) + 1(x + 3)
= (x + 3) (x2 + 1)
Örnek 14
6x + 3xy + y + 2
Çözüm
6x + 3xy + y + 2
= (6x + 3xy) + (y + 2)
= 3x (2 + y) + 1(2 + y)
= 3x (y + 2) + 1(y + 2)
= (y + 2) (3x + 1)
= (3x + 1) (y + 2)
Örnek 15
balta2 – bx2 + ay2 – tarafından2 + az2 – bz2
Çözüm
balta2 – bx2 + ay2 – tarafından2 + az2 – bz2
İki terimin her bir grubundaki GCF’yi çarpanlarına ayırın
⟹ x2(a – b) + y2(a – b) + z2(a – b)
= (a – b) (x2 + y2 + z2)
Örnek 16
Faktör 6x2 + 3x + 20x + 10.
Çözüm
Her iki terim kümesindeki GCF’yi çarpanlarına ayırın.
⟹ 3x (2x + 1) + 10(2x + 1)
= (3x + 10) (2x + 1)