Bu konuda herhangi bir fikriniz var mı? polinomların çarpanlara ayrılması? Artık polinomlar hakkında bazı temel bilgilere sahip olduğunuza göre, ikinci dereceden polinomları çarpanlara ayırma yoluyla nasıl çözeceğimizi öğreneceğiz.
Her şeyden önce, bir bakalım ikinci dereceden denklemin hızlı tekrarı. İkinci dereceden bir denklem, genellikle f(x) = ax biçiminde olan ikinci dereceden bir polinomdur2 + bx + c burada a, b, c, ∈ R ve a ≠ 0. ‘a’ terimi öncü katsayı olarak adlandırılırken, ‘c’ f (x)’in mutlak terimidir.
Her ikinci dereceden denklemin bilinmeyen değişkenin iki değeri, genellikle (α, β) denkleminin kökleri olarak bilinir. İkinci dereceden bir denklemin köklerini denklemi çarpanlarına ayırarak elde edebiliriz.
Bu nedenle, çarpanlara ayırma temel bir adımdır matematikteki herhangi bir denklemi çözmeye doğru. Hadi öğrenelim.
İkinci Dereceden Bir Denklem Nasıl Çarpanlara Ayrılır?
İkinci dereceden bir denklemin çarpanlarına ayrılması, denklemin çarpanlarının çarpımına bölünmesi işlemi olarak tanımlanabilir. Başka bir deyişle, çarpanlara ayırmanın çarpmanın tersi olduğunu da söyleyebiliriz.
İkinci dereceden ax denklemini çözmek için 2 + bx + c = 0 çarpanlara ayırma ile aşağıdaki adımlar kullanılır:
- İfadeyi genişletin ve gerekirse tüm kesirleri temizleyin.
- Tüm terimleri eşittir işaretinin sol tarafına taşıyın.
- Orta terimi parçalayarak denklemi çarpanlarına ayırın.
- Her bir faktörü sıfıra eşitleyin ve doğrusal denklemleri çözün
Örnek 1
Çözün: 2(x 2 + 1) = 5x
Çözüm
Denklemi genişletin ve tüm terimleri eşittir işaretinin soluna taşıyın.
⟹ 2x 2 – 5x + 2 = 0
⟹ 2x 2 – 4x – x + 2 = 0
⟹ 2x (x – 2) – 1(x – 2) = 0
⟹ (x – 2) (2x – 1) = 0
Her bir faktörü sıfıra eşitleyin ve çözün
⟹ x – 2 = 0 veya 2x – 1 = 0
⟹ x = 2 veya x = 1212
Bu nedenle, çözümler x = 2, 1/2’dir.
Örnek 2
3x’i çözün 2 – 8x – 3 = 0
Çözüm
3x 2 – 9x + x – 3 = 0
⟹ 3x (x – 3) + 1(x – 3) = 0
⟹ (x – 3) (3x + 1) = 0
⟹ x = 3 veya x = -13
Örnek 3
Aşağıdaki ikinci dereceden denklemi çözün (2x – 3)2 = 25
Çözüm
(2x – 3) denklemini genişletin2 = 25 olsun;
⟹ 4x 2 – 12x + 9 – 25 = 0
⟹ 4x 2 – 12x – 16 = 0
Elde etmek için her terimi 4’e bölün;
⟹ x 2 – 3x – 4 = 0
⟹ (x – 4) (x + 1) = 0
⟹ x = 4 veya x = -1
İkinci dereceden denklemleri çarpanlarına ayırmanın birçok yöntemi vardır. Bu makalede, ikinci dereceden denklemlerin nasıl çarpanlara ayrılacağı üzerinde durulacaktır.2 1 ya da 1’den büyüktür.
Bu nedenle, verilen ikinci dereceden denklem için doğru faktörleri elde etmek için deneme yanılma yöntemini kullanacağız.
x’in Katsayısı Olduğunda Çarpanlara Ayırma 2 1’dir
x biçimindeki ikinci dereceden bir denklemi çarpanlarına ayırmak için 2 + bx + c, baştaki katsayı 1’dir. Çarpımı ve toplamı sırasıyla c ve b olan iki sayıyı tanımlamanız gerekir.
DURUM 1: b ve c’nin her ikisi de pozitif olduğunda
Örnek 4
İkinci dereceden denklemi çözün: x2 + 7x + 10 = 0
10’un çarpanlarını listeleyin:
1 × 10, 2 × 5
Çarpımı 10 ve toplamı 7 olan iki faktör belirleyiniz:
1 + 10 ≠ 7
2 + 5 = 7.
Çarpma işleminin dağılım özelliğini kullanarak çarpanları doğrulayın.
(x + 2) (x + 5) = x2 + 5x + 2x + 10 = x2 + 7x + 10
İkinci dereceden denklemin çarpanları şunlardır: (x + 2) (x + 5)
Her bir faktörün sıfıra eşitlenmesi şunu verir;
x + 2 = 0 ⟹x= -2
x + 5 = 0 ⟹ x = -5
Bu nedenle, çözüm x = – 2, x = – 5’tir
Örnek 5
x 2 + 10x + 25.
Çözüm
Çarpımı 25 ve toplamı 10 olan iki faktör belirleyiniz.
5 × 5 = 25 ve 5 + 5 = 10
Faktörleri doğrulayın.
x 2 + 10x + 25 = x 2 + 5x + 5x + 25
= x (x + 5) + 5x + 25
= x (x + 5) + 5(x + 5)
= (x + 5) (x + 5)
Bu nedenle cevap x = -5’tir.
DURUM 2: b pozitif ve c negatif olduğunda
Örnek 6
x’i çözün2 + 4x – 5 = 0
Çözüm
5’in çarpanlarını yazınız.
1 × -5, -1 × 5
Çarpımı – 5 ve toplamı 4 olan faktörleri belirleyiniz.
1 – 5 ≠ 4
-1 + 5 = 4
Dağılım özelliğini kullanarak çarpanları doğrulayın.
(x – 1) (x + 5) = x2 + 5x – x – 5 = x2 + 4x – 5
(x – 1) (x + 5) = 0
x – 1 = 0 ⇒ x = 1, veya
x + 5 = 0 ⇒ x = -5
Bu nedenle, x = 1, x = -5 çözümlerdir.
DURUM 3: b ve c’nin her ikisi de negatif olduğunda
Örnek 7
x2 – 5x – 6
Çözüm
6’nın çarpanlarını yazınız:
1 × -6, -1 × 6, 2 × -3, -2 × 3
Şimdi çarpımı -6 ve toplamı -5 olan faktörleri belirleyin:
1 + (-6) = -5
Dağılım özelliğini kullanarak çarpanları kontrol edin.
(x + 1) (x – 6) = x2 – 6 x + x – 6 = x2 – 5x – 6
Her bir faktörü sıfıra eşitleyin ve elde etmek için çözün;
(x + 1) (x – 6) = 0
x + 1 = 0 ⇒ x = -1, veya
x – 6 = 0 ⇒ x = 6
Dolayısıyla çözüm x=6, x = -1’dir.
DURUM 4: b negatif ve c pozitif olduğunda
Örnek 8
x2 – 6x + 8 = 0
Çözüm
8’in tüm çarpanlarını yazınız.
-1 × – 8, -2 × -4
Çarpımı 8 ve toplamı -6 olan çarpanları belirleyin
-1 + (-8) ≠ -6
-2 + (-4) = -6
Dağılım özelliğini kullanarak çarpanları kontrol edin.
(x – 2) (x – 4) = x2 – 4 x – 2x + 8 = x2 – 6x + 8
Şimdi her bir faktörü sıfıra eşitleyin ve elde etmek için ifadeyi çözün;
(x – 2) (x – 4) = 0
x – 2 = 0 ⇒ x = 2, veya
x – 4 = 0 ⇒ x = 4
Örnek 9
Çarpanlarına ayırma x2 +8x+12.
Çözüm
12’nin çarpanlarını yazınız;
12 = 2 × 6 veya = 4 × 3
Toplamı 8 olan çarpanları bulun:
2 + 6 = 8
2 × 6 ≠ 8
Çarpanları kontrol etmek için dağılım özelliğini kullanın;
= x2+ 6x +2x + 12 = (x2+ 6x) +(2x + 12) = x(x+6) +2(x+6)
= x (x + 6) +2 (x + 6) = (x + 6) (x + 2)
Elde etmek için her bir faktörü sıfıra eşitleyin;
(x + 6) (x + 2)
x = -6, -2
x’in katsayısı olduğunda çarpanlara ayırma 2 1’den büyüktür
Bazen ikinci dereceden bir denklemin baştaki katsayısı 1’den büyük olabilir. Bu durumda, ikinci dereceden denklemi ortak çarpanları kullanarak çözemeyiz.
Bu nedenle, x’in katsayısını dikkate almamız gerekir2 ve toplamı b olan sayıları bulmak için c’nin çarpanları.
Örnek 10
2x çözün2 – 14x + 20 = 0
Çözüm
Denklemin ortak faktörlerini belirleyin.
2x2 – 14x + 20 ⇒ 2(x2 – 7x + 10)
Şimdi (x)’in faktörlerini bulabiliriz2 – 7x + 10). Bu nedenle, 10’un çarpanlarını yazınız:
-1 × -10, -2 × -5
Toplamı – 7 olan çarpanları belirleyiniz:
1 + (-10) ≠ -7
-2 + (-5) = -7
Dağılım özelliğini uygulayarak çarpanları kontrol edin.
2(x – 2) (x – 5) = 2(x2 – 5 x – 2x + 10)
= 2(x2 – 7x + 10) = 2x2 – 14x + 20
Her bir faktörü sıfıra eşitleyin ve çözün;
2(x – 2) (x – 5) = 0
x – 2 = 0 ⇒ x = 2, veya
x – 5 = 0 ⇒ x = 5
Örnek 11
7x’i çözün2 + 18x + 11 = 0
Çözüm
Hem 7’nin hem de 11’in çarpanlarını yazınız.
7 = 1 × 7
11 = 1 × 11
Aşağıda gösterildiği gibi çarpanları kontrol etmek için dağılım özelliğini uygulayın:
(7x + 1) (x + 11) ≠ 7x2 + 18x + 11
(7x + 11) (x + 1) = 7x2 + 7x + 11x + 11 = 7x2 + 18x + 11
Şimdi her bir faktörü sıfıra eşitleyin ve elde etmek için çözün;
7x2 + 18x + 11= 0
(7x + 11) (x + 1) = 0
x = -1, -11/7
Örnek 12
2x çözün2 – 7x + 6 = 3
Çözüm
2x2 – 7x + 3 = 0
(2x – 1) (x – 3) = 0
x=1/2 veya x=3
Örnek 13
9x’i çözün 2 +6x+1=0
Çözüm
Vermek için çarpanlarına ayırın:
(3x + 1) (3x + 1) = 0
(3x + 1) = 0,
Bu nedenle, x = -1/3
Örnek 14
6x çarpanlarına ayırma2– 7x + 2 = 0
Çözüm
6x2 – 4x – 3x + 2 = 0
İfadeyi çarpanlarına ayırın;
⟹ 2x (3x – 2) – 1(3x – 2) = 0
⟹ (3x – 2) (2x – 1) = 0
⟹ 3x – 2 = 0 veya 2x – 1 = 0
⟹ 3x = 2 veya 2x = 1
⟹ x = 2/3 veya x = ½
Örnek 15
Çarpanlarına ayırma x2 + (4 – 3y) x – 12y = 0
Çözüm
Denklemi genişletin;
x2 + 4x – 3xy – 12y = 0
Çarpanlarına ayır;
⟹ x (x + 4) – 3y (x + 4) = 0
x + 4) (x – 3y) = 0
⟹ x + 4 = 0 veya x – 3y = 0
⟹ x = -4 veya x = 3y
Böylece, x = -4 veya x = 3y