İkinci dereceden bir denklem, genellikle f(x) = ax biçiminde olan ikinci dereceden bir polinomdur2 + bx + c Burada a, b, c, ∈ R ve a ≠ 0’dır. ‘a’ terimi öncü katsayı olarak adlandırılırken, ‘c’ f (x)’in mutlak terimidir. Her ikinci dereceden denklemde, bilinmeyen değişkenin genellikle denklemin kökleri (α, β) olarak bilinen iki değeri vardır.
Kareler Farkı Nedir?
İki karenin farkı, ikinci dereceden bir denklemin, birinin kareköklerin farkını, diğerinin ise kareköklerin toplamını gösterdiği iki binomun çarpımı olarak yazılıp yazılamayacağını söyleyen bir teoremdir.
Bu teoremle ilgili dikkat edilmesi gereken bir husus, teoremin karelerin toplamı için geçerli olmadığıdır.
Kareler Farkı Formülü
Kareler farkı formülü, iki kare değer arasındaki farkları ifade etmek için kullanılan denklemin cebirsel bir formudur. Bir kare farkı şu şekilde ifade edilir:
a2 – b2Burada hem ilk hem de son terim tam karedir. İki karenin farkının çarpanlarına ayrılması şunu verir:
a2 – b2 = (a + b) (a – b)
Bu doğrudur çünkü, (a + b) (a – b) = a2 – ab + ab – b2 = a2 – b2
Kareler Farkı Nasıl Çarpanlara Ayrılır?
Bu bölümde, kareler farkı formülünü kullanarak cebirsel ifadeleri nasıl çarpanlara ayıracağımızı öğreneceğiz. Bir kareler farkını çarpanlarına ayırmak için aşağıdaki adımlar uygulanır:
- Terimlerin en büyük ortak faktöre (GCF) sahip olup olmadığını kontrol edin ve çarpanlarına ayırın. GCF’yi nihai cevabınıza dahil etmeyi unutmayın.
- Aynı sonuçları üretecek sayıları belirleyin ve aşağıdaki formülü uygulayın: a2– b2 = (a + b) (a – b) veya (a – b) (a + b)
- Kalan şartları daha fazla hesaba katıp katamayacağınızı kontrol edin.
Bu adımları uygulayarak birkaç örnek çözelim.
Örnek 1
Faktör 64 – x2
Çözüm
8’in karesinin 64 olduğunu bildiğimize göre, ifadeyi şu şekilde yeniden yazabiliriz;
64 – x2 = (8)2 – x2
Şimdi, a formülünü uygulayın2 – b2 = (a + b) (a – b) ifadesini çarpanlarına ayırmak için kullanılır;
= (8 + x) (8 – x).
Örnek 2
Çarpanlara Ayırma
x 2 -16
Çözüm
Çünkü x2-16 = (x) 2– (4)2bu nedenle a fark karesi formülünü uygulayın2 – b2 = (a + b) (a – b), bu durumda a ve b sırasıyla x ve 4’tür.
Bu nedenle, x2 – 42 = (x + 4) (x – 4)
Örnek 3
Faktör 3a2 – 27b2
Çözüm
3 terimlerin GCF’si olduğu için çarpanlarına ayırırız.
3a2 – 27b2 = 3(a2 – 9b2)
=3[(a)2 – (3b)2]
Şimdi bir2 – b2 = (a + b) (a – b) elde etmek için;
= 3(a + 3b) (a – 3b)
Örnek 4
Faktör x3 – 25x
Çözüm
GCF = x olduğundan, çarpanlarına ayırın;
x3 – 25x = x (x2 – 25)
= x (x2 – 52)
a formülünü uygulayın2 – b2 = (a + b) (a – b) elde etmek için;
= x (x + 5) (x – 5).
Örnek 5
(x – 2) ifadesini çarpanlarına ayırın2 – (x – 3)2
Çözüm
Bu problemde a = (x – 2) ve b = (x – 3)
Şimdi bir2 – b2 = (a + b) (a – b)
= [(x – 2) + (x – 3)] [(x – 2) – (x – 3)]
= [x – 2 + x – 3] [x – 2 – x + 3]
Benzer terimleri birleştirin ve ifadeleri sadeleştirin;
[x – 2 + x – 3] [x – 2 – x + 3] = > [2x – 5] [1]
= [2x – 5]
Örnek 6
25(x + y) ifadesini çarpanlarına ayırın2 – 36(x – 2y)2.
Çözüm
İfadeyi a biçiminde yeniden yazın2 – b2.
25(x + y)2 – 36(x – 2y)2 => {5(x + y)}2 – {6(x – 2y)}2
a formülünü uygulayın2 – b2 = (a + b) (a – b) elde etmek için,
= [5(x + y) + 6(x – 2y)] [5(x + y) – 6(x – 2y)]
= [5x + 5y + 6x – 12y] [5x + 5y – 6x + 12y]
Benzer terimleri toplayın ve basitleştirin;
= (11x – 7y) (17y – x).
Örnek 7
Faktör 2x2– 32.
Çözüm
GCF’yi çarpanlarına ayırın;
2x2– 32 => 2(x2– 16)
= 2(x2 – 42)
Fark kareler formülünü uygulayarak şunu elde ederiz;
= 2(x + 4) (x – 4)
Örnek 8
Faktör 9x6 – y8
Çözüm
İlk olarak, 9x’i yeniden yazın6 – y8 a şeklinde2 – b2.
9x6 – y8 => (3x3)2 – (y4)2
Uygula2 – b2 = (a + b) (a – b) elde etmek için;
= (3x3 – y4) (3x3 + y4)
Örnek 9
81a ifadesini çarpanlarına ayırın2 – (b – c)2
Çözüm
81a’yı yeniden yaz2 – (b – c)2 olarak2 – b2
= (9a)2 – (b – c)2
Formülünü uygulayarak2 – b2 = (a + b) (a – b) elde ederiz,
= [9a + (b – c)] [9a – (b – c)]
= [9a + b – c] [9a – b + c ]
Örnek 10
Faktör 4x2– 25
Çözüm
= (2x)2– (5)2
= (2x + 5) (2x – 5