Bir radikal, bir sayının kökünü gösteren bir sembol olarak tanımlanabilir. Karekök, küp kök, dördüncü kök hepsi birer radikaldir. Bu makale, kesirli radikallerde yaygın olarak kullanılan terimleri tanımlayarak giriş yapmaktadır. Eğer n 1’den büyük pozitif bir tamsayı ve a o zaman gerçek bir sayıdır;
n√a = a 1/n,
nerede n endeks olarak adlandırılır ve a radikand ise, √ sembolüne radikal. Bu ifadenin sağ ve sol tarafına sırasıyla üs ve radikal formu denir.
Kesirler Radikallerle Nasıl Sadeleştirilir?
Radikalleri kesirlerle sadeleştirmenin iki yolu vardır ve bunlar şunlardır:
- Bir radikali çarpanlarına ayırarak basitleştirme.
- Kesrin rasyonelleştirilmesi veya paydadan radikalin çıkarılması.
Çarpanlara Ayırma ile Radikalleri Sadeleştirme
Bu tekniği aşağıdaki örnek yardımıyla açıklayalım.
Örnek 1
Aşağıdaki ifadeyi sadeleştirin:
√27/2 x √(1/108)
Çözüm
İki radikal kesir bu ilişkiler takip edilerek birleştirilebilir:
√a / √b = √(a / b) ve √a x √b =√ab
Bu yüzden,
√27/2 x √(1/108)
= √27/√4 x √(1/108)
= √(27 / 4) x √(1/108)
= √(27 / 4) x √(1/108) = √(27 / 4 x 1/108)
= √(27 / 4 x 108)
108 = 9 x 12 ve 27 = 3 x 9 olduğundan
√(3 x 9/ 4 x 9 x 12)
9, 9’un bir çarpanıdır ve böylece basitleştirilir,
√(3 / 4 x 12)
= √(3 / 4 x 3 x 4)
= √(1 / 4 x 4)
=√(1 / 4 x 4) = 1 / 4
Paydayı Rasyonelleştirerek Radikalleri Sadeleştirme
Bir paydanın rasyonelleştirilmesi, bir ifadenin kökünün bir kesrin altından üstüne taşındığı bir işlem olarak adlandırılabilir. Bir kesrin alt ve üst kısımları sırasıyla pay ve payda olarak adlandırılır. 2 ve 3 gibi sayılar rasyoneldir ve √2 ve √3 gibi kökler irrasyoneldir. Başka bir deyişle, payda her zaman rasyonel olmalıdır ve paydayı irrasyonelden rasyonele dönüştürme işlemi “Paydayı Rasyonelleştirme” olarak adlandırılır.
Bir paydayı rasyonelleştirmenin iki yolu vardır. Radikal bir kesir, hem üst hem de alt kısmı bir kök ile çarpılarak rasyonelleştirilebilir:
Örnek 2
Aşağıdaki radikal kesri rasyonelleştirin: 1 / √2
Çözüm
Hem pay hem de paydayı 2’nin kökü ile çarpın.
= (1 / √2 x √2 / √2)
= √2 / 2
Paydayı rasyonelleştirmenin bir başka yöntemi de hem üst hem de alt kısmın paydanın eşleniği ile çarpılmasıdır. Eşlenik, terimler arasındaki işaretin değiştiği bir ifadedir. Örneğin, x gibi bir ifadenin eşleniği 2 + 2’dir
x 2 – 2.
Örnek 3
İfadeyi rasyonelleştirin: 1 / (3 – √2)
Çözüm
Hem üst hem de alt kısmı eşlenik olarak (3 + √2) ile çarpın.
1 / (3 – √2) x (3 + √2) / (3 + √2)
= (3 + √2) / (3 2 – (√2) 2)
= (3 + √2) / 7 olduğuna göre payda artık rasyoneldir.
Örnek 4
İfadenin paydasını rasyonelleştirin; (2 + √3)/(2 – √3)
Çözüm
- Bu durumda, 2 – √3 paydadır ve paydayı hem üst hem de alt eşleniği ile rasyonelleştirir.
2 – √3 = 2 + √3’ün eşleniği.
- (2 + √3) ² payını (a + b) ²= a ²+ 2ab + b ² özdeşliği ile karşılaştırdığımızda sonuç 2 ² + 2(2)√3 + √3² = (7 + 4√3) olur.
- Paydayı (a + b) (a – b) = a ² – b ² özdeşliği ile karşılaştırdığımızda sonuç 2² – √3² olur.
Örnek 5
Aşağıdaki ifadenin paydasını rasyonelleştirin,
(5 + 4√3)/(4 + 5√3)
Çözüm
- 4 + 5√3 paydamızdır ve bu nedenle paydayı rasyonelleştirmek için kesri eşleniği ile çarpın; 4+5√3, 4 – 5√3’tür
- Pay terimlerinin çarpımı; (5 + 4√3) (4 – 5√3) 40 + 9√3 sonucunu verir
- (2 + √3) ² payını (a + b) ²= a ²+ 2ab + b ² özdeşliği ile karşılaştırarak
4 ²- (5√3) ² = -59
Örnek 6
(1 + 2√3)/(2 – √3) ifadesinin paydasını rasyonelleştirin
Çözüm
- Paydada 2 – √3 vardır ve paydayı rasyonelleştirmek için tüm kesri eşleniği ile çarpın
2 – √3’ün eşleniği 2 + √3’tür
- Payda (1 + 2√3) (2 + √3) var. Elde etmek için bu terimleri çarpın, 2 + 6 + 5√3
- (2 + √3) (2 – √3) paydasını özdeşlik ile karşılaştırın
a ²- b ² = (a + b) (a – b), 2 ² – √3 ² = 1 elde etmek için
Örnek 7
Paydayı rasyonelleştirin,
(3 + √5)/(3 – √5) + (3 – √5)/(3 + √5)
Çözüm
- (3 +√5)² + (3-√5)²/(3+√5)(3-√5) elde etmek için LCM’yi bulun
- (3 + √5) ²’yi 3 ² + 2(3)(√5) + √5 ² ve (3 – √5) ²’yi 3 ²- 2(3)(√5) + √5 ² olarak genişletin
(3-√5)(3+√5) paydasını a ² – b ²= (a + b)(a – b) özdeşliği ile karşılaştırarak
3 ² – √5 ² = 4
Örnek 8
Aşağıdaki ifadenin paydasını rasyonelleştirin:
[(√5 – √7)/(√5 + √7)] – [(√5 + √7) / (√5 – √7)]
Çözüm
- L.C.M.’yi hesaplayarak şunu elde ederiz
(√5 – √7) ² – (√5 + √7) ² / (√5 + √7)(√5 – √7)
- (√5 – √7) ²’nin açılımı
= √5 ² + 2(√5)(√7) + √7²
- (√5 + √7) ²’nin açılımı
= √5 ² – 2(√5)(√7) + √7 ²
- (√5 + √7)(√5 – √7) paydasını özdeşlik ile karşılaştırın
a² – b ² = (a + b)(a – b), elde etmek için
√5 ² – √7 ² = -2