Kısmi Kesir Ayrıştırma – Açıklama ve Örnekler

Kısmi Kesir Ayrıştırma Nedir?

Rasyonel ifadeleri toplarken veya çıkarırken, iki veya daha fazla kesri tek bir kesirde birleştiririz.

Örneğin:

• 6/ (x – 5) + (x + 2)/ (x – 5) ekleyin

Çözüm

6/ (x – 5) + (x + 2)/ (x – 5) = (6 + x + 2)/ (x -5)

Benzer terimleri birleştirin

= (8 + x)/ (x – 5)

• 4/ (x) çıkarma² – 9) – 3/ (x² + 6x + 9)

Çözüm

LCD’yi elde etmek için her kesrin paydasını çarpanlarına ayırın.

4/ (x² – 9) – 3/ (x² + 6x + 9) ⟹ 4/ (x -3) (x + 3) – 3/ (x + 3) (x + 3)

Elde etmek için her kesri LCD (x -3) (x + 3) (x + 3) ile çarpın;

[4(x + 3) – 3(x – 3)]/ (x -3) (x + 3) (x + 3)

Paydaki parantezleri kaldırın.

⟹ 4x +12 – 3x + 9/ (x -3) (x + 3) (x + 3)

⟹ x + 21/ (x -3) (x + 3) (x + 3)

Yukarıdaki iki örnekte, kesirleri toplayarak ve çıkararak tek bir kesirde birleştirdik. Şimdi kesirleri toplama veya çıkarma işleminin tersi kısmi kesir ayrıştırma olarak adlandırılır.

Cebirde kısmi kesir ayrıştırması, bir kesri bir veya birkaç daha basit kesre ayırma işlemi olarak tanımlanır.

Kısmi kesir ayrıştırması gerçekleştirmek için adımlar aşağıda verilmiştir:

Kısmi Kesir Ayrıştırması Nasıl Yapılır?

• Düzgün bir rasyonel ifade olması durumunda, paydayı çarpanlarına ayırın. Kesir uygun değilse (payın derecesi paydanın derecesinden büyükse), önce bölme işlemini yapın ve ardından paydayı çarpanlarına ayırın.
• Kısmi kesir ayrıştırma formülünü kullanarak (tüm formüller aşağıdaki tabloda belirtilmiştir) her bir çarpan ve üs için bir kısmi kesir yazınız.
• Alttan çarpın ve faktörlerini sıfıra eşitleyerek katsayıları çözün.
• Son olarak, elde ettiğiniz katsayıları kısmi kesre ekleyerek cevabınızı yazınız.

Kısmi Kesir Ayrıştırma Formülü

Aşağıdaki tabloda bir kısmi ayrıştırma formülleri listesi kısmi kesirlerin yazılmasına yardımcı olmak için. İkinci satır, üslü çarpanların kısmi kesirlere nasıl ayrıştırılacağını göstermektedir.

Örnek 1

Ayrıştırma 1/ (x² – a²)

Çözüm

Paydayı çarpanlarına ayırın ve kesri yeniden yazın.

1/ (x² – a²) = A/ (x – a) + B/ (x + a)

(x) ile çarpın² – a²)

1/ (x²– a²) = [A (x + a) + B (x – a)]

⟹ 1 = A (x + a) + B (x – a)

x = -a olduğunda

1 = B (-a – a)

1 = B(-2a)

B = -1/2a

Ve x = a olduğunda

1 = A (a + a)

1 = A(2a)

A = 1/2a

Şimdi A ve B değerlerini yer değiştiriniz.

= 1/ (x² – a²) ⟹ [1/2a (x + a)] + [1/2a (x – a)]

Örnek 2

Ayrıştırma: (3x + 1)/ (x – 2) (x + 1)

Çözüm

(3x + 1)/ (x – 2) (x + 1) = A/ (x – 2) + B/ (x + 1)

(x – 2) (x + 1) ile çarparak elde ederiz;

⟹ 3x + 1 = [A (x + 1) + B (x – 2)]

x + 1 = 0 olduğunda

x = -1

3x + 1 = A (x + 1) + B (x – 2) denkleminde x = -1 yerine koyun

3(-1) + 1 = B (-1 -2)

-3 + 1= B (-3)

-2 = – 3B

B =2/3

Ve x – 2 =0 olduğunda

x = 2

3x + 1 = A (x + 1) + B (x – 2) denkleminde x = 2 yerine yazınız.

3(2) + 1 = A (2 + 1)

6 + 1 = A (3)

7 = 3A

A = 7/3

Dolayısıyla, (3x + 1)/ (x – 2) (x + 1) = 7/3(x – 2) + 2/ 3(x + 1)

Örnek 3

Aşağıdaki rasyonel ifadeleri kısmi kesirlere dönüştürün:

(x² + 15)/(x + 3)² (x² + 3)

Çözüm

(x + 3) ifadesinden beri² 2’lik bir üs içeriyorsa, iki terim içerecektir

⟹ (A₁ ve A₂).

(x² + 3) ikinci dereceden bir ifadedir, bu nedenle içerecektir: Bx + C

⟹ (x² + 15)/(x + 3)²(x² + 3) = A₁/(x + 3) + A₂/(x + 3)² + (Bx + C)/(x² + 3)

Her kesri (x + 3) ile çarpın²(x² + 3).

⟹ x² + 15 = (x + 3) (x² + 3) A₁ + (x² + 3) A₂ + (x + 3)²(Bx + C)

x + 3 ile başlayarak, x = -3’te x + 3 = 0 sonucunu elde ederiz

(-3)² + 15 = 0 + ((-3)² + 3) A₂ + 0

24 = 12A₂

A₂=2

Yedek A₂ = 2:

= x² + 15 ⟹ (x + 3) (x² + 3) A₁ + 2x² + 6 + (x + 3)² (Bx + C)

Şimdi ifadeleri genişletin.

= x² + 15 ⟹ [(x³ + 3x + 3x² + 9) A₁ + 2x² + 6 + (x³ + 6x² + 9x) B + (x² + 6x + 9) C]

⟹ x² + 15 = x³(A₁ + B) +x² (3A₁ + 6B + C + 2) + x (3A₁ + 9B + 6C) + (9A₁ + 6 + 9C)

x³ ⟹ 0 = A₁ + B

x² ⟹ 1 = 3A₁ + 6B + C + 2

x ⟹ 3A₁ + 9B + 6C

Sabitleri ⟹ 15 = 9A₁ + 6 + 9C

Şimdi denklemleri düzenleyin ve çözün

0 = A₁ + B

-1 = 3A₁ + 6B + C

0 = 3A₁ + 9B + 6C

1 = A₁ + C

0 = A₁ + B

-2 = 2A₁ + 6B

0 = 3A₁ + 9B + 6C

1 = A₁ + C

Çözdüğümüzde, elde ederiz;

B = – (1/2), A₁ = (1/2) ve C = (1/2).

Bu nedenle, x² + 15/ (x + 3)²(x² + 3) = 1/ [2(x + 3)] + 2/ (x + 3)² + (-x + 12)/ (x² + 3)

Örnek 4

Ayrıştırma x/ (x² + 1) (x – 1) (x + 2)

Çözüm

x/ [(x² + 1) (x – 1) (x + 2)] = [A/ (x – 2)] + [B/ (x + 2)] + [(Cx + D)/ (x² + 1)]

(x) ile çarpın² + 1) (x – 1) (x + 2)

x = A(x+2) (x²+1) + B(x²+1) (x-1) + (Cx + D) (x-1) (x+2)

x – 1 = 0 olduğunda

x = 1

Yedek;

1 = A (3)(2)

6A= 1

A=1/6

x + 2 = 0 olduğunda

x = -2

Yedek;

-2 = B (5) (-3)

-2 = -15B

B = 2/15

x = 0 olduğunda

x = A(x + 2) (x² + 1) + B(x² + 1) (x – 1) + (Cx + D) (x – 1) (x + 2)

⟹ 0 = A (2)(1) + B (1) (-1) + D (-1) (2)

⟹ 0 = 2A – B – 2D

= (1/3) – (2/15) – 2D

2D = 3/15

D = 1/10

x = -1 olduğunda

-1 = A (1)(2) + B (2) (-2) + (-C+D) (-2) (1)

-1 = 2A – 4B + 2C – 2D

A, B ve D yerine

-1 = (1/3) – (8/15) + 2C – (1/5)

-1 = ((5 – 8 – 3)/15) + 2C

-1 = -6/15 + 2C

-1 + (2/5) = 2 C⟹ -3/5 = 2C ⟹ C = -3/10

Bu nedenle, cevap şudur;

⟹ [1/6(x – 1)] + [2/15(x + 2)] + [(-3x + 1)/10(x² + 1)]