Logaritma Kuralları – Açıklama ve Örnekler

Logaritma nedir? Neden onları inceliyoruz? Kuralları ve yasaları nelerdir?

Başlangıç olarak, bir ‘b’ sayısının logaritması, b sayısına eşit bir sonuç elde etmek için başka bir ‘a’ sayısının yükseltilmesi gereken güç veya üs olarak tanımlanabilir.

Bu ifadeyi sembolik olarak şu şekilde gösterebiliriz;

log _a b = n.

Benzer şekilde, bir sayının logaritmasını üslerinin tersi olarak tanımlayabiliriz. Örneğin, log _a b = n üstel olarak şu şekilde gösterilebilir; a ⁿ = b.

Bu nedenle, şu sonuca varabiliriz;

aⁿ = b ⇔ log _a b = n.

Logaritma okullarda büyük sayıları içeren hesaplamaları basitleştirmek için öğretilse de, günlük hayatımızda hala önemli bir role sahiptir.

Logaritmanın bu uygulamalarından bazılarını görelim:

• Kimyasal çözeltilerin asitliğini ve alkaliliğini ölçmek için logaritma kullanırız.
• Deprem şiddetinin ölçümü logaritma kullanılarak Richter ölçeğinde yapılır.
• Gürültü seviyesi logaritmik bir ölçekte dB (desibel) cinsinden ölçülür.
• Oran aktif izotopların bozunması, bakterilerin büyümesi, bir popülasyonda salgının yayılması ve ölü bir bedenin soğuması gibi üstel süreçler logaritma kullanılarak analiz edilir.
• Bir kredinin ödeme süresini hesaplamak için logaritma kullanılır.
• Kalkülüste logaritma, karmaşık problemleri farklılaştırmak ve eğrilerin altındaki alanı belirlemek için kullanılır.

Üslü sayılar gibi logaritmaların da üslü sayıların kurallarıyla aynı şekilde işleyen kuralları ve yasaları vardır. Logaritma yasalarının ve kurallarının herhangi bir tabandaki logaritmalar için geçerli olduğuna dikkat etmek önemlidir. Ancak, bir hesaplama boyunca aynı taban kullanılmalıdır.

Aşağıdaki işlemleri gerçekleştirmek için logaritma yasalarını ve kurallarını kullanabiliriz:

• Logaritmik fonksiyonların üstel forma dönüştürülmesi.
• İlave
• Çıkarma
• Çarpma İşlemi
• Bölüm
• Genişleme ve yoğunlaşma
• Logaritmik denklemleri çözme.

Logaritma kanunları

Logaritmik ifadeler farklı şekillerde yazılabilir, ancak logaritma yasaları olarak adlandırılan belirli yasalar altında yazılabilir. Bu yasalar herhangi bir tabana uygulanabilir, ancak bir hesaplama sırasında aynı taban kullanılır.

Dört temel logaritma yasaları dahil:

Ürün Kuralı Yasası

Logaritmanın birinci yasası, iki logaritmanın toplamının logaritmaların çarpımına eşit olduğunu belirtir. Birinci yasa şu şekilde gösterilir;

⟹ log A + log B = log AB

Örnek:

1. log ₂ 5 + log ₂ 4 = log ₂ (5 × 4) = log ₂ 20
2. log ₁₀ 6 + log ₁₀ 3 = log ₁₀ (6 x 3) = log ₁₀ 18

• log x + log y = log (x * y) = log xy

1. log 4x + log x = log (4x * x) = log 4x²

Bölüm Kuralı Yasası

İki logaritma A ve B’nin çıkarılması logaritmaların bölünmesine eşittir.

⟹ log A – log B = log (A/B)

Örnek:

1. log ₁₀ 6 – Günlük ₁₀ 3 = log ₁₀ (6/3) = log ₁₀ 2
2. log ₂ 4x – log ₂ x = log ₂ (4x/x) = log ₂ 4

Güç Kuralı Hukuku

⟹ log A ⁿ = n log A

Örnek:

1. log ₁₀ 5³ = 3 log ₁₀ 5
2. 2 log x = log x²

1. 5 ln x² = ln x ^{(2 *5)} = ln x¹⁰

Temel Kural Yasası Değişikliği

⟹ log _b x = (log _a x) / (log _a b)

Örnek 4:

• log ₄16 = (log 16) / (log 4).

Logaritma Kuralları

Logaritma matematiğin çok disiplinli bir alanıdır. Her zaman belirli kurallar ve düzenlemeler altında uygulanırlar.

Logaritma ile oynarken aşağıdaki kuralların hatırlanması gerekmektedir:

• Verilen aⁿ= b ⇔ log _a b = n, b sayısının logaritması yalnızca pozitif reel sayılar için tanımlanır.

⟹ a > 0 (a ≠ 1), aⁿ > 0.

• Pozitif bir reel sayının logaritması negatif, sıfır veya pozitif olabilir.

Örnekler

1. 3²= 9 ⇔ log ₃ 9 = 2
2. 5⁴= 625 ⇔ log ₅ 625 = 4
3. 7⁰= 1 ⇔ log ₇ 1 = 0
4. 2^-3= ¹/₈ ⇔ log ₂ (¹/₈) = -3
5. 10^-2= 0,01 ⇔ log ₁₀01 = -2
6. 2⁶= 64 ⇔ log ₂ 64 = 6
7. 3^{– 4}= 1/3⁴ = 1/81 ⇔ log ₃ 1/81 = -4
8. 10^-2= 1/100 = 0,01 ⇔ log ₁₀01 = -2

• Belirli bir sayının logaritmik değerleri farklı bazlar için farklıdır.

Örnekler

1. log ₉ 81 ≠ log ₃ 81
2. log ₂ 16 ≠ log ₄ 16

• 10’un tabanına göre logaritmalar ortak logaritmalar olarak adlandırılır. Bir logaritma alt simge tabanı olmadan yazıldığında, tabanın 10 olduğunu varsayarız.

Örnekler

1. log 21 = log ₁₀
2. log 0.05 = log ₁₀ 05

• ‘e’ tabanına göre logaritma doğal logaritma olarak adlandırılır. Sabit e yaklaşık olarak 2,7183’tür. Doğal logaritmalar, log ile aynı olan ln x olarak ifade edilir _e
• Negatif bir sayının logaritmik değeri hayali değerdir.
• Sıfır olmayan herhangi bir sonlu tabana göre 1’in logaritması sıfırdır.
  a⁰=1 ⟹ log _a 1 = 0.

Örnek:

7⁰ = 1 ⇔ log ₇ 1 = 0

• Herhangi bir pozitif sayının aynı tabana göre logaritması 1’e eşittir.

a¹=a ⟹ log _a a=1.

Örnekler

1. log ₁₀ 10 = 1
2. log ₂ 2 = 1

• Buna göre, x = log _aM o zaman a ^{log a M} = a

Örnek 1

Aşağıdaki ifadeyi değerlendirin.

log ₂ 8 + log ₂ 4

Çözüm

Ürün kuralı yasasını uyguladığımızda, şunu elde ederiz;

log ₂ 8 + log ₂ 4 = log ₂ (8 x 4)

= log ₂ 32

Üs değerini elde etmek için 32’yi üstel formda yeniden yazın.

32 = 2⁵

Bu nedenle, doğru cevap 5’tir

Örnek 2

Günlüğü değerlendirin ₃ 162 – günlük ₃ 2

Çözüm

Bu bir çıkarma ifadesidir; bu nedenle bölüm kuralı yasasını uygularız.

log ₃ 162 – günlük ₃ 2 = log ₃ (162/2)

= log ₃ 81

Argümanı üstel formda yazınız

81 = 3 ⁴

Dolayısıyla cevap 4’tür.

Örnek 3

Aşağıdaki logaritmik ifadeyi genişletin.

log ₃ (27x ² y ⁵)

Çözüm

log ₃ (27x ² y ⁵) = log ₃ 27 + log ₃ x² + log ₃ y⁵

= log ₃ (9) + log ₃ (3) + 2log ₃ x + 5log ₃ y

Ama günlük ₃ 9 = 3

Almak için değiştirin.

= 3 + log ₃ (3) + 2log ₃ x + 5log ₃ y

Örnek 4

Log değerini hesaplayın_√2 64.

Çözüm

⟹ log_√264 = log_√2 (2)⁶

⟹ log_√264 = 6log_√2(2)

⟹ log_√264 = 6log_√2(√2)²

⟹ log_√264= 6 * 2log_√2(√2)

⟹ log_√264 = 12 * 2(1)

⟹ log_√264 = 12

Örnek 5

log ise x için çözün _0.1 (0.0001) = x

Çözüm

⟹ log_0.1(0.0001) = log_0.1(0.1)⁴

⟹ log_0.1(0.0001) = 4log_0.10.1

⟹ log_0.1(0.0001) = 4(1)

⟹ log_0.1(0.0001) = 4

Bu nedenle, x = 4’tür.

Örnek 6

Verilen x değerini bulun, 2log x = 4log3

Çözüm

2logx = 4log3

Her iki tarafı da 2’ye bölün.

⟹ log x = (4log3) / 2

⟹ log x = 2log3

⟹ log x = log3²

⟹ log x = log9

x = 9

Örnek 7

Günlüğü değerlendirin ₂ (5x + 6) = 5

Çözüm

Denklemi üstel formda yeniden yazın

2⁵ = 5x + 6

Basitleştirin.

32 = 5x + 6

Denklemin her iki tarafını 6 ile çıkarın

32 – 6 = 5x + 6 – 6

26 = 5x

x = 26/5

Örnek 8

log x +log (x-1) = log (3x + 12) ifadesini çözün

Çözüm

⇒ log [x (x − 1)] = log (3x + 12)

Elde etmek için logaritmaları bırakın;

⇒ [x (x − 1)] = (3x + 12)

Parantezleri kaldırmak için dağıtım özelliğini uygulayın.

⇒ x² – x = 3x + 12

⇒ x² – x – 3x – 12 = 0

⇒ x² – 4x – 12 = 0

⇒ (x-6) (x+2) = 0

⇒x = – 2, x= 6

Bir logaritmanın argümanı negatif olamayacağından, doğru cevap x = 6’dır.

Örnek 9

ln 32 – ln (2x) = ln 4x değerini hesaplayın

Çözüm

ln [32/(2x)] = ln 4x

Doğal logları bırakın.

[32/ (2x)] = 4x

32/(2x) = 4x.

Çapraz çarpı.

32 = (2x)4x

32 = 8x²

Elde etmek için her iki tarafı 8’e bölün;

x² = 4

x = – 2, 2

Negatif bir sayının logaritmasını alamayacağımıza göre, x = 2 doğru cevap olarak kalır.

Alıştırma Soruları

1. Günlüğü değerlendirin ₄ 64 + log ₄ 16
2. log ₃ 14-2log ₃ 5
3. 2 günlüğü değerlendirin₃5 + log₃ 40 – 3 günlük₃ 10
4. Yoğunlaştırılmış günlük ₂4 + log ₂ 5
5. Günlüğü genişlet₃(xy³/√z)
6. Aşağıdaki ifadeyi yoğunlaştırın 5 ln x + 13 ln (x³+ 5) – 1/2 ln (x + 1)
7. Günlüğü basitleştirin _a28 – Günlük _a 4 tek bir logaritma olarak
8. Log değeri için çözün ₅ 8 + ₅ (1/1000)
9. Logaritma 3log’da x için çözün ₅ 2 = 2log ₅ X
10. log12 + log 5’i tek bir logaritma olarak yeniden yazın