Logaritmanın özelliklerine geçmeden önce, logaritma kavramını kısaca ele alalım. logaritma ve üsler arasındaki ilişki. Bir sayının logaritması, sayıyı elde etmek için belirli bir tabanın yükseltilmesi gereken güç veya indeks olarak tanımlanır.
Buna göre, ax = M; burada a ve M sıfırdan büyüktür ve a ≠ 1 ise, bunu sembolik olarak logaritmik formda şu şekilde gösterebiliriz;
log a M = x
Örnekler:
- 2-3= 1/8 ⇔ log 2 (1/8) = -3
- 10-2= 0,01 ⇔ log 1001 = -2
- 26= 64 ⇔ log 2 64 = 6
- 32= 9 ⇔ log 3 9 = 2
- 54= 625 ⇔ log 5 625 = 4
- 70= 1 ⇔ log 7 1 = 0
- 3– 4= 1/34 = 1/81 ⇔ log 3 1/81 = -4
- 10-2= 1/100 = 0,01 ⇔ log 1001 = -2
Logaritmik Özellikler
Logaritma özellikleri ve kuralları, logaritmik denklemleri genişletmemize, yoğunlaştırmamıza veya çözmemize izin verdikleri için kullanışlıdır. Bu nedenlerden dolayı.
Çoğu durumda, logaritma problemlerini çözerken kuralları ezberlemeniz söylenir, ancak bu kurallar nasıl türetilir?
Bu makalede, üsler yasaları kullanılarak türetilen logaritmaların özelliklerine ve kurallarına bakacağız.
Logaritmaların çarpım özelliği
Çarpım kuralı, ortak tabana sahip iki veya daha fazla logaritmanın çarpımının, tek tek logaritmaların toplanmasına eşit olduğunu belirtir, yani
log a (MN) = log a M + log a N
Kanıt
- x = log olsun aM ve y = log a
- Bu denklemlerin her birini üstel forma dönüştürün.
⇒ a x = M
⇒ a y = N
- Üstel terimleri çarpın (M & N):
ax * ay = MN
- Taban ortak olduğu için üsleri toplayın:
a x + y = MN
- Her iki tarafında ‘a’ tabanı olan kütük almak.
log a (a x + y) = log a (MN)
- Bir logaritmanın güç kuralını uygulamak.
log a Mn ⇒ n log a M
(x + y) log a a = log a (MN)
(x + y) = log a (MN)
- Şimdi, x ve y değerlerini yukarıda elde ettiğimiz denklemde yerine koyun.
log a M + log a N = log a (MN)
Dolayısıyla, kanıtlanmış
log a (MN) = log a M + log a N
Örnekler:
- log50 + log 2 = log100 = 2
- log 2 (4 x 8) = log 2 (22 x 23) =5
Logaritmaların bölüm özelliği
Bu kural, aynı tabana sahip iki logaritmanın oranının logaritmaların farkına eşit olduğunu belirtir, yani
log a (M/N) = log a M – log a N
Kanıt
- x = log olsun aM ve y = log a
- Bu denklemlerin her birini üstel forma dönüştürün.
⇒ a x = M
⇒ a y = N
- Üstel terimleri bölün (M & N):
ax / ay = M/N
- Taban ortak olduğu için üsleri çıkarın:
a x – y = M/N
- Her iki tarafında ‘a’ tabanı olan kütük almak.
log a (a x – y) = log a (M/N)
- Logaritmanın güç kuralını her iki tarafa da uygulamak.
log a Mn ⇒ n log a M
(x – y) log a a = log a (M/N)
(x – y) = log a (M/N)
- Şimdi, x ve y değerlerini yukarıda elde ettiğimiz denklemde yerine koyun.
log a M – log a N = log a (M/N)
Dolayısıyla, kanıtlanmış
log a (M/N) = log a M – log a N
Logaritmaların güç özelliği
Logaritmanın kuvvet özelliğine göre, üssü ‘n’ olan bir ‘M’ sayısının logu, üssü olmayan bir sayının logu ile üssünün çarpımına eşittir, yani
log a M n = n log a M
Kanıt
x = log a M
- Üstel bir denklem olarak yeniden yazın.
a x = M
- Denklemin her iki tarafındaki ‘n’ gücünü alın.
(a x) n = M n
⇒ a xn = M n
- Denklemin her iki tarafında a tabanı ile log alın.
log a a xn = log a M n
- log a a xn = log a M n ⇒ xn log a a = log a M n ⇒ xn = log a M n
- Şimdi, x ve y değerlerini yukarıda elde ettiğimiz denklemde yerine koyun ve sadeleştirin.
Biliyoruz,
x = log a M
Evet,
xn = log a M n ⇒ n log a M = log a M n
Dolayısıyla, kanıtlanmış
log a M n = n log a M
Örnekler:
log1003 = 3 log100 = 3 x 2 = 6
Logaritmaların taban değiştirme özelliği
Logaritmanın taban değiştirme özelliğine göre, verilen bir logaritmayı herhangi bir yeni tabana sahip iki logaritmanın oranı olarak yeniden yazabiliriz. Bu şu şekilde verilir:
log a M = log b M/ log b N
veya
log a M = log b M × log N b
İspatı, bire bir özelliği ve logaritmalar için güç kuralı kullanılarak yapılabilir.
Kanıt
- Her logaritmayı bırakarak üstel formda ifade edin;
Bırak,
x = log N M
- Üstel forma dönüştürün,
M = N x
- Bir mülke bir tane uygulayın.
log b N x = log b M
x log b N = log b M
x = log b M / log b N
- x değerini yerine koyma.
log a M = log b M / log b N
ya da şöyle yazabiliriz,
log a M = log b M × log a b
Bu yüzden, kanıtlandı.
Logaritmanın diğer özellikleri şunlardır:
- Sıfır olmayan herhangi bir sonlu tabana göre 1’in logaritması sıfırdır.
Kanıt:
log a 1 = 0⟹ a 0=1
- Herhangi bir pozitif sayının aynı tabana göre logaritması 1’e eşittir.
Kanıt:
log a a=1 ⟹ a1= a
Örnek:
log 5 15 = log 15/log 5