Logaritma konusuna girmeden önce, üs ve kuvvetleri kısaca tartışmamız önemlidir.
Bir sayının üssü, bir sayının kendisiyle çarpılma sıklığı veya sayısıdır. Aynı faktörün tekrarlanan çarpımını temsil eden bir ifadeye güç denir.
Örneğin, 16 sayısı üstel formda şu şekilde ifade edilebilir; 24. Bu durumda, 2 ve 4 sayıları sırasıyla taban ve üs değerleridir.
Logaritma nedir?
Diğer taraftan Bir sayının logaritması, sayıyı elde etmek için belirli bir tabanın yükseltilmesi gereken güç veya indekstir.
Logaritma kavramı 17. yüzyılda ortaya atılmıştır.inci İskoçyalı bir matematikçi tarafından John Napier.
Mekanik makinelere 19. yüzyılda tanıtıldıinci yüzyılda ve 20. yüzyılda bilgisayarlarainci yüzyıl. Doğal logaritma matematikteki kullanışlı fonksiyonlardan biridir ve birçok uygulaması vardır.
Aşağıdaki gibi ilişkili olan üç a, x ve n sayısını düşünün;
ax = M; burada a > 0 < M ve a ≠ 1
x sayısı, n sayısının ‘a’ tabanına göre logaritmasıdır. Bu nedenle, ax = n logaritmik formda şu şekilde ifade edilebilir.
log a M = x, Burada, M argüman veya sayıdır; x üs, ‘a’ ise tabandır.
Örneğin:
16 = 2 4 ⟹ log 2 16 = 4
9 = 32 ⟹ log 3 9 = 2
625 = 54 ⟹ log 5 625 = 4
70 = 1 ⟹ log 7 1 = 0
3– 4 = 1/34 = 1/81 ⟹ log 3 1/81 = -4
Ortak logaritmalar
Tabanı 10 olan tüm logaritmalar şu şekilde adlandırılır ortak logaritmalar. Matematiksel olarak, bir x sayısının ortak logu şu şekilde yazılır:
log 10 x = log x
Doğal logaritma
A doğal logaritma tabanın matematiksel sabit e olduğu özel bir logaritma biçimidir; burada e irrasyonel bir sayıdır ve 2,7182818’e eşittir…. Matematiksel olarak, bir x sayısının doğal logu şu şekilde yazılır:
log e x = ln x
burada doğal log veya ln ‘nin tersidir. e.
Doğal üstel fonksiyon şu şekilde verilir:
e x
Negatif logaritmalar
Logaritmaların negatif değerler için tanımlanmadığını biliyoruz.
O halde negatif logaritma ile neyi kastediyoruz?
Bu, bu tür sayılar kümesinin logaritmasının negatif bir sonuç verdiği anlamına gelir. 0 ile 1 arasında yer alan tüm sayıların logaritması negatiftir.
Logaritmanın Temel Yasaları
Logaritmanın dört temel kuralı vardır. Bunlar:
Ortak tabana sahip iki logaritmanın çarpımı, her bir logaritmanın toplamına eşittir.
⟹ log b (m n) = log b m + log b n.
Logaritmaların bölme kuralı, aynı tabana sahip iki logaritmik değerin bölümünün her bir logaritmanın farkına eşit olduğunu belirtir.
⟹ log b (m/n) = log b m – log b n
- Logaritmaların üstel kuralı
Bu kural, rasyonel üslü bir sayının logaritmasının, üs ile logaritmasının çarpımına eşit olduğunu belirtir.
⟹ log b (m n) = n log b m
⟹ log b a = log x a ⋅ log b x
⟹ log b a = log x a / günlük x b
NOT: Bir sayının logaritması her zaman tabanı ile birlikte belirtilir. Taban verilmemişse, 10 olduğu varsayılır.
Örneğin, log 100 = 2.
Logaritmanın gerçek hayattaki uygulamaları
Logaritmalar bilim, teknoloji ve matematik alanında çok kullanışlıdır.
İşte logaritmanın gerçek hayattaki uygulamalarına birkaç örnek.
- Elektronik hesap makineleri, hesaplamalarımızı çok daha kolay hale getirmek için logaritmalara sahiptir.
- Logaritmalar ölçümlerde ve göksel navigasyonda kullanılır.
- Gürültü seviyesini desibel cinsinden hesaplamak için logaritma kullanılabilir.
- Aktif çürüme oranı, asitlik [PH] ve Richter ölçeği logaritmik formda ölçülür.
Logaritma içeren birkaç problem çözelim.
Örnek 1
Log içinde x için çözün 2 (64) = x
Çözüm
Burada 2 taban, x üs ve 64 sayıdır.
2 olsunx = 64
64’ü 2’nin tabanına göre ifade edin.
2x = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 26
x = 6, bu nedenle, log 2 64 = 6.
Örnek 2
Log cinsinden x’i bulun10 100 = x
Çözüm
100 = sayı
10 = taban
x = üs
Bu nedenle, 10 x = 100
Dolayısıyla x = 2
Ama 100 = 10 * 10 = 102
Örnek 3
Verilen k için çözün, log3 x = log3 4 + log3 7
Çözüm
Çarpım kuralını uygulayarak log b (m n) = log b m + log b n elde ederiz;
⟹ log3 4 + log3 7= log 3 (4 * 7) = log 3 (28).
Dolayısıyla, x = 28’dir.
Örnek 4
Verilen y için çözün, log 2 x = 5
Çözüm
Burada, 2 = taban
x = sayı
5 = üs
⟹ 25 = x
⟹ 2* 2 * 2 * 2 * 2 = 32
Böylece, x = 32
Örnek 5
Log için çözün 10 105 göz önüne alındığında, log 10 2 = 0,30103, log 10 3 = 0,47712 ve log 10 7 = 0.84510
Çözüm
log10 105 = log10 (7 x 5 x 3)
Logaritmaların çarpım kuralını uygulayın
= log10 7 + log10 5 + log10 3
= log10 7 + log10 10/2 + log10 3
= log10 7 + log10 10 – Günlük10 2 + log10 3
= 0.845l0 + 1 – 0.30103 + 0.47712
= 2.02119.