Bu makalede, bilinmeyen değişkenli logaritmik fonksiyonların nasıl değerlendirileceğini ve çözüleceğini öğreneceğiz.
Logaritma ve üs, matematikte birbiriyle yakından ilişkili iki konudur. Bu nedenle üsleri kısaca gözden geçirmekte fayda var.
Üs, bir sayının kendisiyle tekrarlanan çarpımının yazım biçimidir. Üstel bir fonksiyon f (x) = b biçimindedir yBurada b > 0 < x ve b ≠ 1’dir. Burada x sayı, b taban ve y üs ya da kuvvettir.
Örneğin, 32 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 22.
Üstel fonksiyon 22 ” olarak okunuriki, beşin üssü ile yükseltilir” veya “iki beşinci güce yükseldi” veya “Beşinci kuvvete yükseltilmiş iki.“
Öte yandan logaritmik fonksiyon, üs alma işleminin ters fonksiyonu olarak tanımlanır. Tekrar f(x) = b üstel fonksiyonunu ele alalımyburada b > 0 < x ve b ≠ 1’dir. Bu fonksiyonu logaritmik formda şu şekilde gösterebiliriz:
y = log b x
O zaman logaritmik fonksiyon şu şekilde verilir;
f(x) = log b x = y, burada b taban, y üs ve x argümandır.
f (x) = log fonksiyonu b x “x’in log tabanı b” olarak okunur. Logaritmalar matematikte kullanışlıdır çünkü çok büyük sayılarla hesaplama yapmamızı sağlarlar.
Logaritmik Fonksiyonlar Nasıl Çözülür?
Logaritmik fonksiyonları çözmek için, verilen ifadede üstel fonksiyonları kullanmak önemlidir. Doğal log veya ln ‘nin tersidir. e. Bu, birinin diğerini geri alabileceği anlamına gelir.
ln (e x) = x
e ln x = x
Bir denklemi logaritma(lar) ile çözmek için özelliklerini bilmek önemlidir.
Logaritmik fonksiyonların özellikleri
Logaritmik fonksiyonların özellikleri, girdiler bölme, çarpma veya logaritmik değerlerin üsleri şeklinde olduğunda logaritmaları basitleştirmek için kullanılan kurallardır.
Bazı özellikler aşağıda listelenmiştir.
Logaritmanın çarpım kuralı, ortak bir tabana sahip iki sayının çarpımının logaritmasının, bireysel logaritmaların toplamına eşit olduğunu belirtir.
⟹ log a (p q) = log a p + log a q.
Logaritmaların bölüm kuralı, aynı tabana sahip iki sayının oranının logaritmasının, her bir logaritmanın farkına eşit olduğunu belirtir.
⟹ log a (p/q) = log a p – log a q
Logaritmanın güç kuralı, rasyonel üslü bir sayının logaritmasının, üs ile logaritmasının çarpımına eşit olduğunu belirtir.
⟹ log a (p q) = q log a p
⟹ log a p = log x p ⋅ log a x
⟹ log q p = log x p / log x q
⟹ log p 1 = 0.
Logaritmik fonksiyonların diğer özellikleri şunlardır:
- Üstel bir fonksiyonun ve eşdeğer logaritmik fonksiyonun tabanları eşittir.
- Pozitif bir sayının aynı sayının tabanına göre logaritması 1’e eşittir.
log a a = 1
- Herhangi bir tabana göre 1’in logaritması 0’dır.
log a 1 = 0
- Günlük a0 tanımsızdır
- Negatif sayıların logaritmaları tanımsızdır.
- Logaritma tabanı asla negatif veya 1 olamaz.
- Tabanı 10 olan bir logaritmik fonksiyona ortak logaritma denir. Taban için küçük bir alt simge olmadan logaritmik fonksiyonlarla çözerken her zaman 10 tabanını varsayınız.
Üstel fonksiyon ile logaritmik fonksiyonun karşılaştırılması
Denklemde logaritma gördüğünüzde, her zaman denklemi çözmek için logaritmayı nasıl geri alacağınızı düşünürsünüz. Bunun için bir üstel fonksiyon. Bu işlevlerin her ikisi de birbirinin yerine kullanılabilir.
Aşağıdaki tablo yazma şeklini ve üstel fonksiyonlar ile logaritmik fonksiyonların değiştirilmesi. Üçüncü sütun her iki logaritmik fonksiyonun nasıl okunacağını anlatmaktadır.
| Üstel fonksiyon | Logaritmik fonksiyon | Olarak okuyun |
| 82 = 64 | log 8 64 = 2 | 64’lük log tabanı 8 |
| 103 = 1000 | log 1000 = 3 | 1000’in log tabanı 10 |
| 100 = 1 | log 1 = 0 | log tabanı 10 of 1 |
| 252 = 625 | log 25 625 = 2 | log tabanı 25 / 625 |
| 122 = 144 | log 12 144 = 2 | günlük tabanı 12 / 144 |
Logaritmik fonksiyonları içeren birkaç problemi çözmek için bu özellikleri kullanalım.
Örnek 1
Üstel fonksiyonu yeniden yaz 72 = 49’u eşdeğer logaritmik fonksiyona dönüştürür.
Çözüm
Verilen 72 = 64.
Burada, taban = 7, üs = 2 ve argüman = 49’dur. Bu nedenle, 72 Logaritmik fonksiyonda = 64’tür;
⟹ log 7 49 = 2
Örnek 2
5’in logaritmik karşılığını yazınız3 = 125.
Çözüm
Taban = 5;
üs = 3;
ve argüman = 125
53 = 125 ⟹ log 5 125 =3
Örnek 3
Log içinde x için çözün 3 x = 2
Çözüm
log 3 x = 2
32 = x
⟹ x = 9
Örnek 4
Eğer 2 log x = 4 log 3 ise, ‘x’ değerini bulunuz.
Çözüm
2 log x = 4 log 3
Her iki tarafı da 2’ye bölün.
log x = (4 log 3) / 2
log x = 2 log 3
log x = log 32
log x = log 9
x = 9
Örnek 5
1024’ün 2 tabanına göre logaritmasını bulun.
Çözüm
1024 = 210
log 2 1024 = 10
Örnek 6
Log cinsinden x değerini bulun 2 (x) = 4
Çözüm
Logaritmik fonksiyon log’u yeniden yazın 2(x) = 4 değerini üstel forma dönüştürür.
24 = x
16 = x
Örnek 7
Aşağıdaki logaritmik log fonksiyonunda x için çözüm yapın 2 (x – 1) = 5.
Çözüm
Logaritmayı üstel formda şu şekilde yeniden yazın;
log 2 (x – 1) = 5 ⟹ x – 1 = 25
Şimdi, cebirsel denklemdeki x değerini çözün.
⟹ x – 1 = 32
x = 33
Örnek 8
Log x 900 = 2’de x’in değerini bulunuz.
Çözüm
Logaritmayı üstel formda şu şekilde yazınız;
x2 = 900
Elde etmek için denklemin her iki tarafının karekökünü bulun;
x = -30 ve 30
Ancak logaritmanın tabanı hiçbir zaman negatif veya 1 olamayacağı için doğru cevap 30’dur.
Örnek 9
Verilen x için çözün, log x = log 2 + log 5
Çözüm
Ürün kuralını kullanma Günlük b (m n) = log b m + log b n elde ederiz;
⟹ log 2 + log 5 = log (2 * 5) = Log (10).
Bu nedenle, x = 10’dur.
Örnek 10
Günlük çözme x (4x – 3) = 2
Çözüm
Logaritmayı üstel formda yeniden yazarak elde edin;
x2 = 4x – 3
Şimdi ikinci dereceden denklemi çözün.
x2 = 4x – 3
x2 – 4x + 3 = 0
(x -1) (x – 3) = 0
x = 1 veya 3
Bir logaritmanın tabanı asla 1 olamayacağına göre, tek çözüm 3’tür.