Mutlak Değer Nedir?
Mutlak değer içeren denklemleri çözmek, normal doğrusal denklemlerle çalışmak kadar basittir. Mutlak değer denklemlerini çözmeye başlamadan önce, mutlak değer kelimesinin ne anlama geldiğine bir göz atalım.
Matematikte, bir sayının mutlak değeri, yönü ne olursa olsun bir sayının sıfırdan uzaklığını ifade eder. Bir x sayısının mutlak değeri genellikle | x | = a şeklinde gösterilir, bu da x = + a ve -a anlamına gelir.
Biz diyoruz ki verilen bir sayının mutlak değeri, o sayının pozitif versiyonudur. Örneğin, negatif 5’in mutlak değeri pozitif 5’tir ve bu şu şekilde yazılabilir: | – 5 | = 5.
Sayıların mutlak değerlerinin diğer örnekleri şunlardır: |- 9| = 9, |0| = 0, – |-12| = -12 vb. Bu mutlak değer örneklerinden yola çıkarak, mutlak değer denklemlerini, mutlak değer fonksiyonlarına sahip ifadeler içeren denklemler olarak tanımlayabiliriz.
Mutlak Değer Denklemleri Nasıl Çözülür?
Aşağıda mutlak değer fonksiyonları içeren denklemlerin çözümü için genel adımlar verilmiştir:
- Mutlak değer fonksiyonunu içeren ifadeyi izole edin.
- İki denklemi kurarak mutlak değer gösteriminden kurtulun, böylece ilk denklemde mutlak gösterimin içindeki miktar pozitif olur. İkinci denklemde ise negatiftir. Mutlak gösterimi kaldıracak ve miktarı uygun işaretiyle yazacaksınız.
- Denklemin pozitif versiyonu için bilinmeyen değeri hesaplayın.
- Denklemin negatif versiyonunu çözün; burada önce eşittir işaretinin diğer tarafındaki değeri -1 ile çarpacak ve sonra çözeceksiniz.
Yukarıdaki adımlara ek olarak, mutlak değer denklemlerini çözerken aklınızda bulundurmanız gereken başka önemli kurallar da vardır.
- ∣x∣ her zaman pozitiftir: ∣x∣ → +x.
- x| = a durumunda, eğer a sağdaki pozitif bir sayı veya sıfır ise, o zaman bir çözüm vardır.
- x| = a durumunda, eğer a sağ taraftaki değer negatifse, çözüm yoktur.
Örnek 1
Denklemi x için çözün: |3 + x| – 5 = 4.
Çözüm
- Denklemler Kanunu’nu uygulayarak mutlak değer ifadesini izole edin. Bu, elde etmek için denklemin her iki tarafına 5 eklediğimiz anlamına gelir;
| 3 + x | – 5 + 5 = 4 + 5
| 3 + x |= 9
- Denklemin pozitif versiyonu için hesaplama yapınız. Denklemi mutlak değer sembollerini varsayarak çözün.
| 3 + x | = 9 → 3 + x = 9
Denklemin her iki tarafından 3 çıkarın.
3 – 3 + x = 9 -3
x = 6
- Şimdi 9’u -1 ile çarparak denklemin negatif versiyonunu hesaplayın.
3 + x | = 9 → 3 + x = 9 × ( -1)
3 + x = -9
Ayrıca x’i izole etmek için her iki taraftan 3 çıkarın.
3 -3 + x = – 9 -3
x= -12
Bu nedenle 6 ve -12 çözümlerdir.
Örnek 2
3x – 4 | – 2 = 3 olacak şekilde x’in tüm gerçek değerlerini çözün.
Çözüm
- Her iki tarafa 2 ekleyerek denklemi mutlak fonksiyon ile izole edin.
= | 3x – 4 | – 2 + 2 = 3 + 2
= | 3x – 4 |= 5
Mutlak işaretleri kabul edin ve denklemin pozitif versiyonu için çözün.
| 3x – 4 |= 5→3x – 4 = 5
Denklemin her iki tarafına da 4 ekleyin.
3x – 4 + 4 = 5 + 4
3x = 9
Böl: 3x/3 =9/3
x = 3
Şimdi 5 ile -1’i çarparak negatif versiyonu çözün.
3x – 4 = 5→3x – 4 = -1(5)
3x – 4 = -5
Denklemin her iki tarafına da 4 ekleyin.
3x – 4 + 4 = – 5 + 4
3x = 1
Her iki tarafı da 3’e bölün.
3x/3 = 1/3
x = 1/3
Bu nedenle, 3 ve 1/3 çözümlerdir.
Örnek 3
x’in tüm gerçek değerleri için çözün: Çöz | 2x – 3 | – 4 = 3
Çözüm
Her iki tarafa da 4’er tane ekleyin.
| 2x – 3 | -4 = 3 →| 2x – 3 | = 7
Mutlak sembolleri varsayalım ve x’in pozitif versiyonu için çözelim.
2x – 3 = 7
3 ekleyin;
2x – 3 + 3 = 7 + 3
2x = 10
x = 5
Şimdi 7’yi -1 ile çarparak x’in negatif versiyonunu çözün
2x – 3 = 7→2x – 3 = -1(7)
2x -3 = -7
Her iki tarafa da 3’er tane ekleyin.
2x – 3 + 3 = – 7 + 3
2x = -4
x = – 2
Bu yüzden, x = -2, 5
Örnek 4
x’in tüm gerçek sayıları için çözün: | x + 2 | = 7
Çözüm
Zaten mutlak değer ifadesi izole edilmiştir, bu nedenle mutlak sembolleri varsayın ve çözün.
| x + 2 | = 7 → x + 2 = 7
Her iki taraftan da 2 çıkarın.
x + 2 – 2 = 7 -2
x = 5
Denklemin negatif versiyonunu çözmek için 7 ile -1’i çarpın.
x + 2 = -1(7) → x + 2 = -7
Her iki taraftan da 2 ile çıkarın.
x + 2 – 2 = – 7 – 2
x = -9
Bu nedenle, x = -9, 5