Bu eşitsizliklerin mutlak değeri ile aynı kuralları takip eder. sayıların mutlak değeri. Aradaki fark, öncekinde bir değişkene, ikincisinde ise bir sabite sahip olmamızdır.
Bu makale mutlak değer eşitsizliklerine kısa bir genel bakış sunacak ve ardından mutlak değer eşitsizliklerini çözmek için adım adım yöntem.
Son olarak, daha iyi anlaşılması için farklı senaryo örnekleri bulunmaktadır.
Mutlak Değer Eşitsizliği Nedir?
Mutlak değer eşitsizliklerini nasıl çözeceğimizi öğrenmeden önce, kendimize bir sayının mutlak değerini hatırlatalım.
Tanım olarak, bir sayının mutlak değeri, yönü ne olursa olsun, bir değerin orijinden uzaklığıdır. Mutlak değer, sayıyı veya ifadeyi çevreleyen iki dikey çizgi ile gösterilir.
Örneğinx’in mutlak değeri | x | = a olarak ifade edilir, bu da x = +a ve -a anlamına gelir. Şimdi mutlak değer eşitsizliklerinin neleri gerektirdiğini görelim.
Mutlak değer eşitsizliği, mutlak fonksiyonların yanı sıra eşitsizlik işaretleri de içeren bir ifadedir. Örneğin, |x + 3| > 1 ifadesi, büyüktür sembolü içeren bir mutlak değer eşitsizliğidir.
Aralarından seçim yapabileceğiniz dört farklı eşitsizlik sembolü vardır. Bunlar küçüktür (<), daha büyük (>), daha az veya eşit (≤) ve daha büyük veya eşit (≥). Dolayısıyla, mutlak değer eşitsizlikleri bu dört sembolden herhangi birine sahip olabilir.
Mutlak Değer Eşitsizlikleri Nasıl Çözülür?
Mutlak değer eşitsizliklerini çözme adımları mutlak değer denklemlerini çözmeye çok benzer. Ancak, mutlak değer eşitsizliklerini çözerken aklınızda bulundurmanız gereken bazı ekstra bilgiler vardır.
Mutlak değer eşitsizliklerini çözerken dikkate alınması gereken genel kurallar aşağıda verilmiştir:
- Mutlak değer ifadesini solda izole edin.
- Mutlak değer eşitsizliğinin pozitif ve negatif versiyonlarını çözün.
- Eşitsizlik işaretinin diğer tarafındaki sayı negatif olduğunda, ya tüm reel sayıların çözüm olduğu sonucuna varırız ya da eşitsizliğin çözümü yoktur.
- Diğer taraftaki sayı pozitif olduğunda, mutlak değer çubuklarını kaldırarak bileşik bir eşitsizlik kurarak devam ederiz.
- Eşitsizlik işaretinin türü, oluşturulacak bileşik eşitsizliğin biçimini belirler. Örneğin, bir problem büyüktür veya büyüktür/eşittir işareti içeriyorsa, aşağıdaki formata sahip bir bileşik eşitsizlik oluşturun:
(Mutlak değer çubukları içindeki değerler) < – (Diğer taraftaki sayı) VEYA (Mutlak değer çubukları içindeki değerler) > (Diğer taraftaki sayı).
- Benzer şekilde, bir problem az veya az/eşittir işareti içeriyorsa, aşağıdaki formda 3 parçalı bir bileşik eşitsizlik kurun:
– (Eşitsizlik işaretinin diğer tarafındaki sayı) < (Mutlak değer çubukları içindeki miktar) < (Eşitsizlik işaretinin diğer tarafındaki sayı)
Örnek 1
Eşitsizliği x için çözün: | 5 + 5x| – 3 > 2.
Çözüm
Eşitsizliğin her iki tarafına 3 ekleyerek mutlak değer ifadesini izole edin;
=> | 5 + 5x| – 3 (+ 3) > 2 (+ 3)
=> | 5 + 5x | > 5.
Şimdi eşitsizliğin hem pozitif hem de negatif “versiyonlarını” aşağıdaki gibi çözün;
Denklemi normal şekilde çözerek mutlak değer sembollerini varsayacağız.
=> | 5 + 5x| > 5 → 5 + 5x > 5.
=> 5 + 5_x_> 5
Her iki taraftan 5 çıkarın
5 + 5x (- 5) > 5 (- 5) 5x > 0
Şimdi, her iki tarafı da 5’e bölün
5x/5 > 0/5
x > 0.
Böylece, x > 0 olası çözümlerden biridir.
Mutlak değer eşitsizliğinin negatif versiyonunu çözmek için, eşitsizlik işaretinin diğer tarafındaki sayıyı -1 ile çarpın ve eşitsizlik işaretini ters çevirin:
| 5 + 5x | > 5 → 5 + 5x < – 5 => 5 + 5x < -5 Her iki taraftan 5 çıkarın => 5 + 5x ( -5) < -5 (- 5) => 5x < -10 => 5x/5 < -10/5 => x < -2.
x > 0 veya x < -2 eşitsizliğin iki olası çözümüdür. Alternatif olarak, | 5 + 5x | > 5 formülünü kullanarak çözebiliriz:
(Mutlak değer çubukları içindeki değerler) < – (Diğer taraftaki sayı) VEYA (Mutlak değer çubukları içindeki değerler) > (Diğer taraftaki sayı).
İllüstrasyon:
(5 + 5x) < – 5 VEYA (5 + 5x) > 5
Elde etmek için yukarıdaki ifadeyi çözün;
x < -2 veya x > 0
Örnek 2
x + 4| – 6 < 9’u çözün
Çözüm
Mutlak değeri izole edin.
|x + 4| – 6 < 9 → |x + 4| < 15
Mutlak değer ifademiz eşitsizlik işaretinden küçük olduğu için, 3 parçalı bileşik eşitsizlik çözümünü şu şekilde kurarız:
-15 < x + 4 < 15
-19 < x < 11
Örnek 3
2x – 1| – 7 ≥ -3 değerini çözün
Çözüm
İlk olarak, değişkeni izole edin
|2x – 1| – 7≥-3 → |2x – 1|≥4
Denklemimizdeki büyüktür veya eşittir işareti nedeniyle bir “veya” bileşik eşitsizliği kuracağız.
2 – 1≤ – 4 veya 2x – 1 ≥ 4
Şimdi, eşitsizlikleri çözün;
2x – 1 ≤ -4 veya 2x – 1 ≥ 4
2x ≤ -3 veya 2x ≥ 5
x ≤ -3/2 veya x ≥ 5/2
Örnek 4
5x + 6| + 4 < 1’i çözün
Çözüm
Mutlak değeri izole edin.
|5x + 6| + 4 < 1 → |5x + 6| < -3
Diğer taraftaki sayı negatif olduğundan, çözümü belirlemek için tersini de kontrol edin.
|5x + 6| < -3
Pozitif < negatif (yanlış). Bu nedenle, bu mutlak değer eşitsizliğinin çözümü yoktur.
Örnek 5
3x – 4| + 9 > 5’i çözün
Çözüm
Mutlak değeri izole edin.
|3x – 4| + 9 > 5 → |3x – 4| > -4
|5x + 6| < -3
Çünkü, pozitif < negatif (doğru). Bu nedenle, bu mutlak değer eşitsizliğinin çözümlerinin tümü gerçek sayılardır.