Oranlar gibi matematiksel kavramlar olmadan hayatımızın nasıl olacağını hayal etmek zordur. Günlük hayatımızda, alışverişe giderken, yemek pişirirken, mesleki bir geziye çıkarken vb. oran ve orantılarla sık sık karşılaşırız.
Oranlar ve orantılar etkili performans için gereklidir. Bu makalede, oranların nasıl hesaplanacağını öğreneceğiz ve örnek problemleri çözmek için bilgiyi uygulayacağız, ancak bundan önce oranları tanımlayarak başlayalım.
Oran, iki veya daha fazla nicelik arasında karşılaştırma yapmanın bir yoludur. Bir oranı belirtmek için kullanılan işaret iki nokta üst üste ‘ dir:‘ a ve b’nin iki farklı nicelik veya sayı olduğunu varsayalım, o zaman a’nın b’ye oranı a/b veya a: b olarak yazılabilir. Benzer şekilde, b’nin a’ya oranı da b: a veya b/a olarak gösterilebilir. Bir orandaki ilk miktar öncül olarak bilinir ve ikinci değer sonuç olarak adlandırılır.
Oran örnekleri şunlardır: ¾ veya 3:4, 1/5 veya 1:5, 199/389 veya 199:389 vb. Bu örnekten de anlaşılacağı üzere, bir oran basitçe öncülün pay ve sonrakinin payda olduğu bir kesirdir.
Leonardo da Vinci’nin ünlü Vitruvius Adamı çizimi, insan vücudunun ideal oranına dayanıyordu. Vücudun her bir parçası farklı oranlarda yer kaplar; örneğin yüz toplam yüksekliğin yaklaşık 1/10’unu, baş ise toplam yüksekliğin yaklaşık 1/8’ini kaplar. Orta çağ yazarları bu kelimeyi orantı (oran) kavramını ilk kez kullanmıştır. 1948’de Le Corbusier bir oranlar sistemi verdi
Oran nedir?
Orantı, bize iki oranın birbirine denk olduğunu söyleyen bir ifadedir. İki oran eşdeğerse orantılı oldukları söylenir. Oranlar ‘:’ veya ‘=’ işareti ile gösterilir. Örneğin, a, b, c ve d tam sayılarsa, oran a: b = c: d veya a/b = c/d veya b: a = d: c şeklinde yazılır. Örneğin, 3: 5 ve 15: 25 oranları orantılıdır ve 3: 5= 15: 25 şeklinde yazılır.
a, b, c ve d olmak üzere dört sayı bir orantının terimleri olarak bilinir. İlk a ve son d terimleri uç terimler olarak adlandırılırken, bir orantıdaki ikinci ve üçüncü terimler ortalama terimler olarak adlandırılır.
Oranlar Nasıl Çözülür?
Oranların orantılı olup olmadığını hesaplamak kolaydır. a: b ve c: d oranlarının orantılı olup olmadığını kontrol etmek için.
- İlk terimi son terimle çarpın: a x d
- İkinci terimi üçüncü terimle çarpın: b x c
- Uç terimlerin çarpımı ortalama terimlerin çarpımına eşitse, oranlar orantılıdır: a x d = b x c
Devam eden oran
Eğer a: b = b: c ise, iki a: b ve b: c oranının sürekli orantılı olduğu söylenir. Bu durumda, c terimi a ve b’nin üçüncü oranı olarak adlandırılırken, b terimi a ve c terimleri arasındaki ortalama oran olarak adlandırılır.
a, b ve c terimleri sürekli orantılı olduğunda, aşağıdaki formül elde edilir:
a/b = b/c
Terimlerin çapraz çarpımı şunu verir; a x c =b x b, Dolayısıyla,
b² = ac
Örnek 1
Aşağıdaki oranların orantılı olup olmadığını bulun: 8:10 ve 12:15.
Açıklama
- Oranların birinci ve dördüncü terimlerini çarpın.
8 × 15 = 120
- Şimdi ikinci ve üçüncü terimi çarpın.
10 × 12 = 120
- Çünkü uçların çarpımı ortalamaların çarpımına eşittir,
- Çünkü, ortalamaların çarpımı (120) = uçların çarpımı (120),
- Bu nedenle, 8:10 ve 12:15 saatleri orantılıdır.
Örnek 2
6:12::12:24 oranının orantılı olup olmadığını doğrulayın.
Açıklama
- Bu bir devam eden orantı durumudur, bu nedenle a x c =b x b formülünü uygulayın,
- Bu durumda, a: b:c =6:12:24, dolayısıyla a=6, b=12 ve c=24
- Birinci ve üçüncü terimleri çarpın:
6 × 24 = 144
- Orta terimlerin karesi:
(12) ² = 12 × 12 = 144
- Dolayısıyla 6:12:24 oranı orantılıdır.
Örnek 3
Eğer 12:18::20: p. Oranları orantılı hale getirmek için x değerini bulunuz?
Açıklama
Verildi: 12: 18::20: p
Aşırı uçların çarpımını ortalamaların çarpımına eşitleyin;
⇒ 12 × p = 20 × 18
⇒ p = (20 × 18)/12
p için çözün;
⇒ p = 30
Dolayısıyla, p= 30 değeri
Örnek 4
3 ve 6 ile orantılı üçüncüyü bulun.
Açıklama
- Üçüncü orantı c olsun.
- O halde, b² = ac
6 x 6 = 3 x c
C= 36/3
= 12
Dolayısıyla, 3 ve 6 ile orantılı üçüncü değer 12’dir
Örnek 5
Ortalama orantıyı 3 ile 27 arasında hesaplayın
Açıklama
- Ortalama orantı 3 ile 27 arasında m olsun.
- b² = ac formülünü uygulayarak; ‘
Bu nedenle, m x m = 27 x 3 = 81
m2 =81
⇒ m = √81
⇒ m = 9
Dolayısıyla, 3 ile 27 arasındaki ortalama orantı 9’dur.
Örnek 6
a: b = 4 :5 ve b:c = 6 :7 oranları verildiğinde, a: b: c oranını belirleyiniz.
Açıklama
- Çünkü b, iki oran arasındaki ortak terimdir;
- İlk orandaki her terimi ikinci orandaki b değeri ile çarpın;
a: b = 4: 5 = 24:30,
- Ayrıca ikinci orandaki her terimi birinci orandaki b değeri ile çarpın;
b: c = 6: 7 = 30: 35
Dolayısıyla, a: b: c oranı = 24:30:35
Altın Oran
Oranın en büyük uygulaması altın oranBu, farklı nesnelerin ve finansal piyasalar gibi insan yapımı sistemlerin oranlarını analiz etmede çok yardımcı oldu. İki niceliğin oranı, toplamlarının iki nicelikten daha büyük olanına oranına eşitse, yani (a + b)/a = a/b, burada a > b > 0 ise, iki niceliğin altın oranda olduğu söylenir.
Bu oran Yunan harfi φ ile gösterilir. Bu denklemi daha da basitleştirirsek, φ 2 – φ – 1 = 0. Ve bunu ikinci dereceden bir formül kullanarak çözdüğümüzde, φ = 1.6180339887 elde ederiz…
Öklid ve ondan sonra birçok matematikçi altın oran üzerinde çalışmış ve bu oranın varlığını düzgün beşgen ve altın dikdörtgende bulmuştur.