Radikal, bir sayının kökünü gösteren bir sembol olarak tanımlanabilir. Karekök, küp kök, dördüncü kök hepsi birer radikaldir.
Matematiksel olarak, bir radikal x olarak gösterilir n. Bu ifade bize bir x sayısının kendisiyle n sayıda çarpıldığını söyler.
Radikaller Nasıl Çarpılır?
Kare, karekök, küp kök gibi radikal nicelikler diğer nicelikler gibi çarpılabilir. Radikallerin çarpımı, nicelikler arasında çarpma işareti olsun ya da olmasın birbirlerinin çarpanlarının yazılmasını içerir.
Örneğin, √a’nın √b ile çarpımı √a x √b olarak yazılır. Benzer şekilde, çarpım n 1/3 y ile 1/2 h olarak yazılır 1/3y 1/2.
Faktörlerin aynı radikal işarete yerleştirilmesi tavsiye edilir. Bu, değişkenler ortak bir indekse basitleştirildiğinde mümkündür. Örneğin, aşağıdakilerin çarpımı n√x ile n √y şuna eşittir n√(xy). Bu, birkaç değişkenin çarpımının kökünün, köklerinin çarpımına eşit olduğu anlamına gelir.
Örnek 1
√8xb ile √2xb’yi çarpın.
Çözüm
√8xb by √2xb = √(16x 2 b 2) = 4xb.
Radikal büyüklüklerin çarpımının rasyonel büyüklüklerle sonuçlandığını fark edebilirsiniz.
Örnek 2
√2 ve √18’in çarpımını bulun.
Çözüm
√2 x √18 = √36 = 6.
Radikandlar Aynı Değerde Olduğunda Miktarların Çarpımı
Aynı miktarın kökleri, kesirli üslerin toplanmasıyla çarpılabilir. Genel olarak,
a 1/2 * a 1/3 = a (1/2 + 1/3) = a 5/6
Bu durumda, paydanın toplamı miktarın kökünü gösterirken, pay gerekli ürünü üretmek için kökün nasıl tekrarlanacağını belirtir.
Radikal Büyüklüklerin Rasyonel Katsayılarla Çarpımı
Radikallerin rasyonel kısımları çarpılır ve bunların çarpımı radikal büyüklüklerin çarpımının önüne eklenir. Örneğin, a√b x c√d = ac √(bd).
Örnek 3
Aşağıdaki ürünü bulun:
√12x * √8xy
Çözüm
- Radikalin dışındaki tüm büyüklükleri ve radikalin içindeki tüm büyüklükleri çarpın.
√96x 2 y
4x√6 y
Örnek 4
Aşağıdaki radikal ifadeyi çözün
(3 + √5)/(3 – √5) + (3 – √5)/(3 + √5)
Çözüm
[(3 +√5)² + (3-√5)²]/[(3+√5)(3-√5)]
- (3 + √5) ² ve (3 – √5) ² olarak genişletin,
Sırasıyla 3 ² + 2(3)(√5) + √5 ² ve 3 ²- 2(3)(√5) + √5 ².
- Payı bulmak için yukarıdaki iki açılımı toplayın,
3 ² + 2(3)(√5) + √5 ² + 3 ² – 2(3)(√5) + √5 ² = 18 + 10 = 28
- (3-√5)(3+√5) paydasını a ² – b ²= (a + b)(a – b) özdeşliği ile karşılaştırarak
3 ² – √5 ² = 4
28/4 = 7
Örnek 5
Paydayı rasyonelleştirin [(√5 – √7)/(√5 + √7)] – [(√5 + √7) / (√5 – √7)]
Çözüm
- L.C.M.’yi hesaplayarak şunları elde ederiz
(√5 – √7) ² – (√5 + √7) ² / (√5 + √7)(√5 – √7)
- (√5 – √7) ²’nin açılımı
= √5 ² + 2(√5)(√7) + √7²
- (√5 + √7) ²’nin açılımı
= √5 ² – 2(√5)(√7) + √7 ²
- (√5 + √7)(√5 – √7) paydasını a² – b ² = (a + b)(a – b) özdeşliği ile karşılaştırın,
√5 ² – √7 ² = -2
[{√5 ² + 2(√5)(√7) + √7²} – {√5 ² – 2(√5)(√7) + √7 ²}]/(-2)
= 2√35/(-2)
= -√35
Örnek 6
Değerlendirme
(2 + √3)/(2 – √3)
Çözüm
- Bu durumda, 2 – √3 paydadır ve paydayı hem üst hem de alt eşleniği ile rasyonelleştirir.
2 – √3’ün eşleniği 2 + √3’tür.
- (2 + √3) ² payını (a + b) ²= a ²+ 2ab + b ² özdeşliği ile karşılaştırdığımızda, sonuç 2 ² + 2(2)√3 + √3² = (7 + 4√3) olur.
- Paydayı (a + b) (a – b) = a ² – b ² özdeşliği ile karşılaştırdığımızda sonuç 2² – √3² olur.
- Cevap = (7 + 4√3)
Örnek 7
Çarpım √27/2 x √(1/108)
Çözüm
√27/2 x √(1/108)
= √27/√4 x √(1/108)
= √(27 / 4) x √(1/108)
= √(27 / 4) x √(1/108) = √(27 / 4 x 1/108)
= √(27 / 4 x 108)
108 = 9 x 12 ve 27 = 3 x 9 olduğundan
√(3 x 9/ 4 x 9 x 12)
9, 9’un bir çarpanıdır ve böylece basitleştirilir,
√(3 / 4 x 12)
= √(3 / 4 x 3 x 4)
= √(1 / 4 x 4)
=√(1 / 4 x 4) = 1 / 4