için rasyonel ifadelerin nasıl çarpılacağını öğrenmek‘yi hatırlayalım. sayısal kesirlerin çarpımı.
Kesirlerin çarpımı, verilen kesirlerin paylarının çarpımını ve paydalarının çarpımını ayrı ayrı bulmayı içerir.
Örneğin, a/b ve c/d herhangi iki kesir ise, o zaman;
a/b × c/d = a × c/b × d. Aşağıdaki örneklere bir göz atalım:
Çözüm
2/7 × 3/5
= 2 × 3/7 × 5= 6/35
Çözüm
5/9 × (-3/4)
= 5 × -3/9 × 4
= -15/36
= -5/12
Benzer şekilde, rasyonel ifadeler de aynı kural izlenerek çarpılır.
Rasyonel İfadeler Nasıl Çarpılır?
Rasyonel ifadeleri çarpmak için aşağıdaki adımları uygularız:
- Her iki kesrin pay ve paydalarını tamamen çarpanlarına ayırın.
- Pay ve paydadaki ortak terimleri iptal edin.
- Şimdi hem payda hem de paydada kalan terimleri yeniden yazın.
Polinomları çarpanlarına ayırırken size yardımcı olması için aşağıdaki cebirsel özdeşlikleri kullanın:
- (a² – b²) = (a + b) (a – b)
- (x² – 4²) = (x + 4) (x – 4)
- (x² – 2²) = (x + 2) (x – 2)
- (a³ + b³) = (a + b) (a² – a b + b²)
Örnek 1
(x² – 2x) / (x + 2) * (3 x + 6)/ (x – 2) ifadesini sadeleştirin
Çözüm
Payları çarpanlarına ayırın,
(x² – 2x) / (x + 2) * (3 x + 6)/ (x – 2)
⟹ x (x – 2) / (x + 2) * 3(x + 2)/ (x – 2)
Elde etmek için her iki kesrin pay ve paydalarındaki ortak terimleri iptal edin;
⟹ 3x
Örnek 2
Çözmek [(x2 – 3x – 4)/ (x2 – x -2)] * [(x2 – 4)/ (x2 -+ x -20)]
Çözüm
İlk olarak, her iki kesrin pay ve paydalarını çarpanlarına ayırın.
[(x – 4) (x + 1)/ (x + 1) (x – 2)] * [(x + 2) (x – 2)/ (x – 4) (x + 5)]
Ortak terimleri iptal edin ve kalan terimleri yeniden yazın
= x + 2/x + 5
Örnek 3
Çarpma [(12x – 4x2)/ (x2 + x – 12)] * [(x2 + 2x – 8)/x3 – 4x)]
Çözüm
Rasyonel ifadeleri çarpanlarına ayırın.
⟹ [-4x (x – 3)/ (x – 3) (x + 4)] * [(x – 2) (x + 4)/x (x + 2) (x – 2)]
Elde etmek için pay ve paydalardaki ortak terimleri iptal ederek kesirleri azaltın;
= -4/x + 2
Örnek 4
Çarpma [(2x2 + x – 6)/ (3x2 – 8x – 3)] * [(x2 – 7x + 12)/ (2x2 – 7x – 4)]
Çözüm
Kesirleri çarpanlarına ayırın
⟹ [(2x – 3) (x + 2)/ (3x + 1) (x – 3)] * [(x – 30(x – 4)/ (2x + 1) (x – 4)]
Pay ve paydadaki ortak terimleri iptal edin ve kalan terimleri yeniden yazın.
⟹ [(2x – 3) (x + 2)/ (3x + 1) (2x + 1)]
Örnek 5
Basitleştirin [(x² – 81)/ (x² – 4)] * [(x² + 6 x + 8)/ (x² – 5 x – 36)]
Çözüm
Her bir kesrin pay ve paydalarını çarpanlarına ayırın.
⟹ [(x + 9) (x – 9)/ (x + 2) (x – 2)] * [(x + 2) (x + 4)/ (x – 9) (x + 4)]
Ortak terimleri iptal ettiğimizde, şunu elde ederiz;
= (x + 9)/ (x – 2).
Örnek 6
Basitleştirin [(x² – 3 x – 10)/ (x² – x – 20)] * [(x² – 2 x + 4)/ (x³ + 8)]
Çözüm
(a³ + b³) = (a + b) (a² – a b + b²) cebirsel özdeşliğini kullanarak (x³ + 8) çarpanlarına ayırın.
⟹ (x³ + 8) = (x + 2) (x² – 2 x + 4).
⟹ (x² – 3 x – 10) = (x – 5) (x + 2)
⟹ (x² – x – 20) = (x – 5) (x + 4)
[(x² – 3 x – 10)/ (x² – x – 20)] * [(x² – 2 x + 4)/ (x³ + 8)] = [(x – 5) (x + 2)/ (x – 5) (x + 4)] * [(x² – 2 x + 4)/ (x + 2) (x² – 2 x + 4)]
Şimdi, elde etmek için ortak terimleri iptal edin;
= 1/ (x + 4).
Örnek 7
Basitleştirin [(x + 7)/ (x² + 14 x + 49)] * [(x² + 8x + 7)/ (x + 1)]
Çözüm
Kesirleri çarpanlarına ayırın.
⟹ (x² + 14 x + 49) = (x + 7) (x + 7)
⟹ (x² + 8x + 7) = (x + 1) (x + 7)
= [(x + 7)/ (x + 7) (x + 7)] * [(x + 1) (x + 7)/ (x + 1)]
Ortak terimleri iptal ettiğimizde cevabı şu şekilde elde ederiz;
= 1
Örnek 8
Çarpma [(x² – 16)/ (x – 2)] * [(x² – 4)/ (x³ + 64)]
Çözüm
(x² – 16) ve (x² – 4) çarpanlarına ayırmak için (a² – b²) = (a + b) (a – b) cebirsel özdeşliğini kullanın.
(x² – 4²) ⟹ (x + 4) (x – 4)
(x² – 2²) ⟹ (x + 2) (x – 2).
Ayrıca (a³ + b³) = (a + b) (a² – a b + b²) özdeşliğini (x³ + 64) çarpanına uygulayın.
(x³ + 64) ⟹ (x² – 4x + 16)
= [(x + 4) (x – 4)/)/ (x – 2)] * [(x + 2) (x – 2)/ (x² – 4x + 16)]
Almak için ortak terimleri iptal edin;
= (x – 4) (x + 2)/ (x² – 4x + 16)
Örnek 9
Basitleştirin [(x² – 9 y²)/ (3 x – 3y)] * [(x² – y²)/ (x² + 4 x y + 3 y²)]
Çözüm
(a²-b²) = (a + b) (a – b) cebirsel özdeşliğini (x²- (3y)² ve (x² – y²) çarpanlarına ayırmak için uygulayın.
⟹ (x²-(3y)² = (x + 3y) (x-3y)
⟹ (x² – y²) = (x + y) (x – y).
Faktör (x² + 4 x y + 3 y²)
= x² + 4 x y + 3 y²
= x² + x y + 3 x y + 3 y²
= x (x + y) + 3y (x + y)
= (x + y) (x + 3y)
Almak için ortak terimleri iptal edin:
= (x – 3y)/3