Bir polinom, çıkarılan, eklenen veya çarpılan iki veya daha fazla terimden oluşan cebirsel bir ifadedir. Bir polinom katsayılar, değişkenler, üsler, sabitler ve toplama ve çıkarma gibi operatörler içerebilir.
Bir polinomun kesirli veya negatif üslere sahip olamayacağını da unutmamak önemlidir. Polinom örnekleri şunlardır; 3y2 + 2x + 5, x3 + 2 x 2 – 9 x – 4, 10 x 3 + 5 x + y, 4x2 – 5x + 7) vb. Sayılar gibi polinomlar da toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerine tabi tutulabilir.
Daha önce polinomlarda toplama, çıkarma, çarpma ve uzun bölme işlemlerini görmüştük. Şimdi sentetik bölme işlemine bir göz atalım.
Matematikte polinomları bölmek için iki yöntem vardır.
Bunlar uzun bölme ve senteti̇k yöntem. Adından da anlaşılacağı gibi, uzun bölme yöntemi ustalaşması en zahmetli ve korkutucu süreçtir. Diğer taraftan senteti̇k yöntem polinomları bölmenin “eğlenceli” bir yoludur.
Şunu söylemeliyim ki sentetik bölme kestirme bir yoldur polinomları bölmek için kullanılır çünkü cevaba ulaşmak için polinom uzun bölme yönteminden daha az adım gerektirir. Bu makale sentetik bölme yöntemini ve yöntemin nasıl yapılacağını birkaç örnekle tartışacaktır.
Sentetik Bölünme nedir?
Sentetik bölme, bir polinomu birinci dereceden başka bir polinoma bölmenin kısa yolu olarak tanımlanabilir. Sentetik yöntem, polinomların sıfırlarını bulmayı içerir.
Sentetik Bölme Nasıl Yapılır?
Sentetik bölme kullanarak bir polinomu bölmek için, önde gelen katsayısı 1 olması gereken doğrusal bir ifade ile bölmelisiniz.
Doğrusal bir payda ile bu tür bölme işlemi genellikle bölme işlemi olarak bilinir Ruffini’nin kuralı veya “kağıt-kalem hesaplama.”
Sentetik bölme yönteminin mümkün olabilmesi için aşağıdaki gerekliliklerin karşılanması gerekmektedir:
- Bölen doğrusal bir faktör olmalıdır. Bu, bölenin 1. dereceden bir ifade olması gerektiği anlamına gelir.
- Bölenin baştaki katsayısı da 1 olmalıdır. Bölenin katsayısı 1’den farklıysa, sentetik bölme işlemi karışacaktır. Bu nedenle, baştaki katsayıyı 1’e dönüştürmek için böleni değiştirmek zorunda kalacaksınız. Örneğin, 4x – 1 ve 4x + 9 sırasıyla x – ¼ ve x + 9/4 olacaktır.
Polinom sentetik bölme işlemini gerçekleştirmek için adımlar şunlardır:
- Bölme kutusuna konulacak sayıyı bulmak için böleni sıfır olarak ayarlayın.
- Kar payını standart biçimde ifade edin. Bu, temettüyü azalan sırada yazmakla aynı şeydir. Temettüde bazı terimler eksikse, bunları sıfır kullanarak doldurun. Örneğin, 3x4 + 2 x3 + 3x2 + 5 = 3x4 + 2 x3 + 3x2 + 0x +5
- Şimdi, temettüdeki öncü katsayıyı düşürün.
- Aşağı indirdiğiniz sayı ile bir önceki sütundaki bölme kutusundaki sayının çarpımını yerleştirin.
- Adım 4’teki çarpım ile bir önceki sayıyı toplayarak sonucu satırın altına yazın.
- Kalan sıfır veya sayısal bir değer olana kadar prosedür 5’i tekrarlayın.
- Nihai cevabınızı alt sütundaki sayılar olarak yazın. Bölme kutusunda bir kalan olduğunda, bunu paydası ile birlikte bir kesir olarak ifade edin.
NOT: Yanıttaki değişken, orijinal kar payından bir kuvvet daha azdır
Aşağıdaki mantrayı kullanarak yukarıdaki adımlarda ustalaşabilirsiniz: “Aşağı indir, Çarp ve topla, çarp ve topla, Çarp ve topla, ….”
Örnek 1
Böl x3 + 5x2 -2x – 24 ile x – 2
Çözüm
x -2 bölenindeki sabitin işaretini -2’den 2’ye değiştirin ve aşağı indirin.
_____________________
x – 2 | x ³ + 5x² – 2x – 24
2 | 1 5 -2 -24
Ayrıca, baştaki katsayıyı aşağı çekin. Bu, bölümün ilk sayısının 1 olması anlamına gelir.
2 | 1 5 -2 -24
________________________
1
2 ile 1’i çarpın ve çarpıma 5 ekleyerek 7’yi elde edin. Şimdi 7’yi aşağı indirin.
2 | 1 5 -2 -24
2
________________________
1 7
2 ile 7’yi çarpın ve 12’yi elde etmek için çarpıma – 2 ekleyin. 12’yi aşağı indirin
2 | 1 5 -2 -24
2 14
__________________________
1 7 12
Son olarak, 2 ile 12’yi çarpın ve 0’ı elde etmek için sonuca -24 ekleyin.
2 | 1 5 -2 -24
2 14 24
__________________________
1 7 12 0
Bu yüzden;
x3 + 5x2 -2x – 24/ x – 2 = x² + 7x + 12
Örnek 2
Böl x2 + 11x + 30 x + 5 ile
Çözüm
x + 5 bölenindeki sabitin işaretini 5’ten -5’e değiştirin ve aşağı indirin.
_____________________
x + 5 | x2 + 11x + 30
-5 | 1 11 30
Kâr payındaki ilk terimin katsayısını düşürün. Bu bizim ilk bölümümüz olacak
2 | 1 11 30
________________________
1
5 ile 1’i çarpın ve 6’yı elde etmek için çarpıma 11 ekleyin. 6’yı aşağı indirin;
-5 | 1 11 30
-5
________________________
1 6
5 ile 6’yı çarpın ve 0’ı elde etmek için sonuca 30 ekleyin.
-5 | 1 11 30
-5 -30
________________________
1 6 0
Bu nedenle bölüm x + 6’dır
Örnek 3
2 kez böl3 + 5x2 + 9 x + 3
Çözüm
x + 3 bölenindeki sabitin işaretini 3’ten -3’e ters çevirin ve aşağı indirin.
_____________________
x + 3 | 2x3 + 5x2 + 0x + 9
-3| 2 5 0 9
Kâr payındaki ilk terimin katsayısını düşürün. Bu bizim ilk bölümümüz olacaktır.
-3 | 2 5 0 9
________________________
2
3 ile 2’yi çarpın ve -1’i elde etmek için çarpıma 5 ekleyin. -1’i aşağı indirin;
-3 | 2 5 0 9
-6
________________________
2 -1
3 ile -1’i çarpın ve 3’ü elde etmek için sonuca 0 ekleyin. 3’ü aşağı indirin.
-3 | 2 5 0 9
-6 3
________________________
2 -1 3
3 ile 3’ü çarpın ve 0’ı elde etmek için sonuca -9 ekleyin.
-3 | 2 5 0 9
-6 3 -9
________________________
2 -1 3 0
Bu nedenle, 2x2– x + 3 doğru cevaptır.
Örnek 4
3x’i bölmek için sentetik bölme işlemini kullanın3 + 10x2 – 6x -20 ile x+2.
Çözüm
x + 2’nin işaretini 2’den -2’ye ters çevirin ve aşağı indirin.
_____________________
x + 2 |4x3 + 10x2 – 6x – 20
-2| 4 10 6 20
Kâr payındaki ilk terimin katsayısını düşürün.
-2 | 4 10 6 20
________________________
4
-2 ile 4’ü çarpın ve 2’yi elde etmek için 10 ekleyin. 2’yi aşağı indir;
-2 | 4 10 6 20
-8
________________________
4 2
-2 ile 2’yi çarpın ve sonuca -6 ekleyerek 10 elde edin. 10’u aşağıya getirin.
-2 | 4 10 -6 20
-8 -4
________________________
4 2 10
-2 ile 10’u çarpın ve 0’ı elde etmek için sonuca 20 ekleyin.
-2 | 4 10 -6 20
-8 -4 -20
________________________
4 2 -10 0
Bu nedenle, 4x2 Cevap + 2x -10’dur.
Örnek 5
Böl -9x4 +10x3 + 7x2 – 6 ile x-1.
Çözüm
-9x4 +10x3 + 7x2 – 6 / x-1 =
1 | -9 10 7 0 -6
-8 1 8 8
________________________
-9 8 8 2
Bu nedenle cevap -9x’tir3 +8x2+8x + 2/x -1