Üstel sayı, x ª biçiminde ifade edilen bir fonksiyondur; burada x, taban olarak bilinen bir sabiti ve ‘a’, bu fonksiyonun üssünü temsil eder ve herhangi bir sayı olabilir.
Üs, tabanın sağ üst omzuna takılır. Tabanın kendisiyle kaç kez çarpılacağını tanımlar. Örneğin, 4 3 bir işlemi temsil eder; 4 x 4 x 4 = 64. Öte yandan, kesirli bir kuvvet tabanın kökünü temsil eder, örneğin (81)1/2 9 ver.
Sıfır Üslü Kuralı
Üstel bir sayıyı tanımlayabileceğimiz çeşitli yolları göz önünde bulundurarak, sıfır üs kuralını aşağıdakileri göz önünde bulundurarak türetebiliriz:
- x 2/x 2 = 1. Bölme kuralını göz önünde bulundurarak, aynı tabana sahip sayıları böldüğümüzde üsleri çıkarırız.
x2/x 2 = x 2 – 2 = x 0 ama zaten biliyoruz ki x2/x2 = 1; bu nedenle x 0= 1
Dolayısıyla, sıfırın sıfır kuvvetine yükseltilmesi dışında herhangi bir sayının 1 olduğu sonucuna varabiliriz.
- Sıfır-eksponent kuralının doğrulanması
Bırakın 8 sayısı 0 üstel bir terim olsun. Bu durumda 8 taban ve sıfır üs olur.
Ancak bir ile herhangi bir üslü sayının çarpımının üslü sayının kendisine eşit olduğunu bildiğimiz için.
⟹⟹ 8 0 = 1× 8 0 = 1×1
Şimdi, 1 sayısını ve 8 taban sayısını sıfır kez yazıyoruz.
⟹⟹ 8 0 = 1
Bu nedenle, sıfırın kuvvetine yükseltilmiş herhangi bir sayı veya ifadenin her zaman 1’e eşit olduğu kanıtlanmıştır. Başka bir deyişle, üs sıfır ise sonuç 1’dir. Sıfır üs kuralının genel şekli şu şekilde verilir: a 0 = 1 ve (a/b) 0 = 1.
Örnek 1
(-3) 0 = 1
(2/3) 0 = 1
0° = tanımlanmamış. Bu, bir sayıyı sıfıra bölmeye benzer.
Bu nedenle, kuralı a° =1 olarak yazabiliriz. Alternatif olarak, sıfır üs kuralı aşağıdaki durumlar göz önünde bulundurularak kanıtlanabilir.
Örnek 2
31 = 3 = 3
32 = 3*3 = 9
33 = 3*3*3 = 27
34 = 3*3*3*3 = 81
Ve böyle devam eder.
Şunu not edebilirsiniz, 33= (34)/3, 32 = (33)/3, 31= (32)/3
3(n-1) = (3n)/3
Yani 30= (31)/3=3/3=1
Bu formül herhangi bir sayı için çalışacaktır ancak 0 sayısı için çalışmayacaktır.
Şimdi herhangi bir x sayısını çağırarak formülü genelleştirelim:
x(n-1) =x n/x
Yani x0 = x (1-1) = x1/x = x/x = 1
Ve böylece kanıtlanmış oldu.
Örnek 3
Başka bir vakayı düşünün:
52 * 54 = 5(2+4) = 56 = 15625
Bu formülde üslerden birini negatif olarak değiştirin:
52 * 5-4 = 5(2-4) = 5-2 = 0.04
Ya üsler aynı büyüklüğe sahipse:
52 * 5-2 = 5(2-2) = 50
Negatif üssün, birin üslü sayıya bölünmesi anlamına geldiğini hatırlayın:
5-2 = 1/52 = 0.04
Ve yaz, 52 * 5-2 farklı bir şekilde:
52 * 5-2 = 52 * 1/52 = 52/52 = 25/25
Herhangi bir sayının kendisine bölümü her zaman 1 olduğundan;
52 * 5-2 = 52 * 1/52 = 52/52 = 25/25 = 1
52*5-2 = 5(2-2) = 50
52 * 5-2 = 52/52 = 1
Bu şu anlama gelir: 50 = 1. Dolayısıyla sıfır üs kuralı kanıtlanmıştır.
Örnek 4
Başka bir vaka düşünün:
x a * x b = x (a + b)
Üslerden birini negatif olarak değiştirirsek: x a * x-b = x(a-b)
Ve eğer üsler eşit büyüklüğe sahipse, x a * x-b = x a * x-a = x(a-a) = x0
Şimdi hatırlayın, negatif üs, birin üslü sayıya bölündüğü anlamına gelir:
x-a = 1/x a
Yeniden yaz x a * x-a farklı bir şekilde:
x a * x-a = x a * 1/x a = x a/x a
Ve bir sayının kendisine bölümü her zaman 1 olduğu için:
x a * x-a = x a * 1/x a = x a/x a = 1:
x a * x-a = x(a-a) = x0
ve
x a * x-a = x a * 1/x a:
Bu, herhangi bir x sayısının0 = 1. Dolayısıyla sıfır üs kuralı kanıtlanmıştır.