Üsler kuvvetler veya indekslerdir. Bir üs veya kuvvet, bir sayının kendisiyle kaç kez tekrar tekrar çarpıldığını gösterir. Örneğin, 5 şeklinde yazılmış bir sayı ile karşılaştığımızda3Bu basitçe 5’in kendisiyle üç kez çarpıldığı anlamına gelir. Başka bir deyişle, 53 = 5 x 5 x 5 = 125.
Üstel bir ifade, b olarak gösterilen taban ve n olarak gösterilen üs olmak üzere iki kısımdan oluşur. Üstel bir ifadenin genel formu b n.
Üslü Sayılar Nasıl Çarpılır?
Üslü sayıların çarpımını yapmak üst düzey matematiğin önemli bir parçasını oluşturur, ancak birçok öğrenci bu işlemi nasıl yapacağını anlamakta zorlanır. Negatif ve çoklu üs içeren ifadeler kafa karıştırıcı görünse de.
Bu makalede üslü sayıların çarpımını öğreneceğiz ve böylece üslü sayılarla ilgili problemleri çözerken kendinizi çok daha rahat hissetmenize yardımcı olacağız.
Üslü sayıların çarpımı aşağıdaki alt konuları içerir:
- Aynı tabana sahip üslerin çarpımı
- Üsleri farklı tabanlarla çarpma
- Negatif üslerin çarpımı
- Kesirleri üslü sayılarla çarpma
- Kesirli üslerin çarpımı
- Değişkenleri üslerle çarpma
- Üslü kareköklerin çarpımı
Aynı tabana sahip üslerin çarpımı
Tabanları aynı olan üslerin çarpımında, üsler birbirine eklenir. Tabanları aynı olduğunda üsleri toplamanın çarpma kuralı şu şekilde genelleştirilebilir: a n x a m = a n+ m
Örnek 1
- m⁵ × m³ = (m × m × m × m) × (m × m × m)
= m5 + 3
= m⁸
- 3⁴ × 3² = (3 × 3 × 3 × 3) × (3 × 3) = 3 4+ 3= 3⁶
- (-3) ³ × (-3) ⁴ = [(-3) × (-3) × (-3)] × [(-3) × (-3) × (-3) × (-3)]
= (-3) 3 +4
= (-3)7
- 5³ ×5⁶
= (5 × 5 × 5) × (5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5)
= 53+6
= 5⁹
= [(-7) × (-7) × (-7) × (-7) × (-7) × (-7) × (-7) × (-7) × (-7) × (-7)] × [( -7) × (-7) × (-7) × (-7) × (-7) × (-7) × (-7) × (-7) × (-7) × (-7) × (-7) × (-7)].
= (-7) ²²
Üsleri farklı tabanlarla çarpma
Tabanları farklı ancak üsleri aynı olan iki değişkeni çarparken, basitçe tabanları çarpar ve aynı üssü yerleştiririz. Bu kural şu şekilde özetlenebilir:
a n ⋅ b n = (a ⋅ b) n
Örnek 2
- (x3) *(y3) = xxx*yyy = (x y)3
- 3 2 x 4 2= (3 x 4)2= 122 = 144
Hem üsler hem de tabanlar farklıysa, her sayı ayrı ayrı hesaplanır ve ardından sonuçlar birlikte çarpılır. Bu durumda formül şu şekilde verilir: a n ⋅ b m
Örnek 3
- Negatif üsler nasıl çarpılır?
Aynı tabana ve negatif üslere sahip sayılar için sadece üsleri toplarız. Genel olarak: a -n x a -m = a –(n + m) = 1 / a n + m.
Örnek 4
- 2-3x 2-4 = 2-(3+4) = 2-7 = 1 / 27 = 1 / (2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2) = 1 / 128 = 0,0078125
Benzer şekilde, tabanlar farklı ve üsler aynıysa, önce tabanları çarpar ve üssü kullanırız.
a -n x b -n = (a x b) -n
Örnek 5
- 3-2x 4-2 = (3 x 4)-2 = 12-2 = 1 / 122 = 1 / (12⋅12) = 1 / 144 = 0.0069444
- Kesirler üslü sayılarla nasıl çarpılır?
Aynı tabana sahip kesirleri çarparken üsleri toplarız. Örneğin:
(a / b) n x (a / b) m = (a / b) n + m
Örnek 6
- (4/3)3x (3/5)3 = ((4/3) x (3/5))3 = (4/5)3 = 0.83 = 0,8 x 0,8 x 8 = 0,512
- (4/3)3x (4/3)2 = (4/3) 3+2 = (4/3) 5 = 45 / 35 = 4.214
- (-1/4)-3× (-1/4)-2
(-1/4)-3 × (-1/4)-2
= (4/-1)3 × (4/-1)2
= (-4)3 × (-4)2
= (-4) (3 + 2)
= (-4)5
= -45
= -1024. - (-2/7)-4× (-5/7)2
(-2/7)-4 × (-5/7)2
= (7/-2)4 × (-5/7)2
= (-7/2)4 × (-5/7)2
= (-7)4/24 × (-5)2/72
= {74 × (-5)2}/{24 × 72 }
= {72 × (-5)2 }/24
= [49 × (-5) × (-5)]/16
= 1225/16
- Kesirli üsler nasıl çarpılır?
Bu durum için genel formül şöyledir: a n/m ⋅ b n/m = (a ⋅ b) n/m
Örnek 7
- 23/2x 33/2 = (2⋅3)3/2 = 63/2 = √ (63) = √216 = 14.7
Benzer şekilde, tabanları aynı fakat üsleri farklı olan kesirli üslerin genel formülü şu şekilde verilir: a (n/m) x a (k/j) = a [(n/m) + (k/j)]
Örnek 8
- 2(3/2)x 2(4/3) = 2[(3/2) + (4/3)] = 7.127
- Üslü karekökler nasıl çarpılır?
Aynı tabana sahip üsler için üsleri toplayabiliriz:
(√a) n x (√a) m = a (n + m)/2
Örnek 9
- (√5)2x (√5)4 = 5(2+4)/2 = 56/2 = 53 = 125
- Değişkenlerin üslerle çarpımı
Aynı tabana sahip üsler için üsleri toplayabiliriz:
xn * x m = x n + m
Örnek 10
- x2* x3 = (x * x) ⋅ (x * x * x) = x 2 + 3 = x 5